2016年山东卷理科数学导数大题

已知$f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathcal R$．

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 当$a=1$时，证明：$f(x)>f'(x)+\dfrac 32$对于任意的$x\in [1,2]$成立．

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解     (1) 根据题意，$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(ax^2-2)(x-1)}{x^3},$$ 易得讨论的分界点为$0,2$．

情形一    $a\leqslant 0$．

此时函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减．

情形二    $0<a<2$．

此时函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$\left(1,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$上单调递减，在$\left(\sqrt{\dfrac 2a},+\infty\right)$上单调递增．

情形三    $a=2$．

此时函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增．

情形四    $a>2$．

此时函数$f(x)$在$\left(0,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$上单调递增，在$\left(\sqrt{\dfrac 2a},1\right)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增．

(2) 题中不等式即

$$x-\ln x+\dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 32>0,$$ 我们熟知在区间$[1,2]$上有 $$\ln x \leqslant x-1,$$ 于是 $$\begin{split} LHS&\geqslant \dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 12\\ &=\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3},\end{split}$$ 等号当且仅当$x=1$时取得．而在区间$[1,2]$上，显然有 $$\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3}\geqslant 0,$$ 等号当且仅当$x=2$时取得．因此在区间$[1,2]$上有 $$f(x)-f'(x)-\dfrac 32>0.$$

综上所述，原命题得证．