2016年北京卷理科数学压轴题（创新大题）

设数列$A:a_1,a_2,\cdots,a_N \left(N \geqslant 2\right)$．如果对小于$n \left(2 \leqslant n \leqslant N\right)$的每个正整数$k$都有$a_k<a_n$，则称$n$是数列$A$的一个“$G$时刻”．记$G(A)$是数列$A$的所有“$G$时刻”组成的集合．

(1)对数列$A:-2,2,-1,1,3$，写出$G(A)$的所有元素；

(2)证明：若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$，则$G(A)\ne \varnothing$；

(3)证明：若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right)$，则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$．

解  (1) $G(A)=\{2,5\}$．

(2) 若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$，不妨假设$a_k \left(2 \leqslant k \leqslant N\right)$是$a_2,a_3,\cdots,a_N$中第一个大于$a_1$的数，则对小于$k$的每个正整数$i$都有$a_i<a_k$，所以$k\in G(A)$，故$G(A)\ne \varnothing$．

(3) (i)若$G(A)=\varnothing$，则由第(2)题可知，$a_N \leqslant a_1$，此时结论成立．

(ii) 若$G(A)\ne \varnothing$，设$G(A)=\left\{i_1,i_2,\cdots,i_k\right\}$，其中$i_j \in \left\{2,3,\cdots,N\right\},\ j=1,2,\cdots,k$．不妨设$i_1<i_2<\cdots<i_k$．由题意，$a_{i_1}>a_1 \geqslant a_{i_1-1}$，所以 $$a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} \leqslant 1,$$ 同理，$a_{i_2}>a_{i_1} \geqslant a_{i_2-1}$，所以 $$a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} \leqslant  1,$$ 以此类推，我们有 $$\begin{split}a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} &\leqslant 1,\\a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} &\leqslant  1,\\ \cdots\cdots\cdots,\\a_{i_k}-a_{i_{k-1}} \leqslant a_{i_k}-a_{i_k-1} &\leqslant  1.\end{split}$$  将以上各式叠加，我们得到 $$a_N-a_1 \leqslant a_{i_k}-a_1 \leqslant k,$$ 故此时结论也成立．

综合(i)(ii)可知，若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right)$，则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$．