2016年四川卷理科数学压轴题（导数大题）

设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中$a\in\mathcal R$．

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 确定$a$的所有可能取值，使得$f(x)>\dfrac 1x-{\rm e}^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立．

解    (1) 函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，其导函数 $$f'(x)=\dfrac{2ax^2-1}x,$$ 于是当$a\leqslant 0$时，函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减；当$a>0$时，函数$f(x)$在$\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$上单调递减，在$\left(\sqrt{\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)$上单调递增．

(2) 题中不等式即 $$a(x^2-1)-\ln x-\dfrac 1x+{\rm e}^{1-x}>0,$$ 记左侧为函数$g(x)$，其导函数为 $$g'(x)=2ax-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-{\rm e}^{1-x}.$$ 注意到$g(1)=0$，于是可以分析端点$x=1$处的导函数值 $$g'(1)=2a-1,$$ 得到分界点$a=\dfrac 12$．

在以下讨论中，默认$x$的范围是$(1,+\infty)$．

第一种情况，当$a\geqslant \dfrac 12$时．

此时有 $$g(x)\geqslant \dfrac 12(x^2-1)-\ln x-\dfrac 1x+{\rm e}^{1-x},$$ 记右侧为函数$h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=x-\dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}-{\rm e}^{1-x}.$$ 我们熟知$\ln x<x-1$，从而 $$1-x<\ln \dfrac 1x,$$ 即 $${\rm e}^{1-x}<\dfrac 1x,$$ 因此 $$h'(x)>x-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac 1x=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x^2}>0,$$ 于是函数$h(x)$单调递增，而$h(1)=0$，因此 $$g(x)\geqslant h(x)>0,$$ 符合题意．

第二种情况，当$a<\dfrac 12$时．

此时有 $$g(x)<a(x^2-1)+\left(\dfrac 1x-1\right)-\dfrac 1x+\dfrac 1x=(x^2-1)\left[a-\dfrac{1}{x(x+1)}\right].$$ 若$a\leqslant 0$，则$g(x)<0$，显然不符合题意；若$0<a<\dfrac 12$，则当$x\in \left(1,\dfrac 12\left(-1+\sqrt{1+\dfrac 4a}\right)\right)$时，有$g(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．