2016年全国2卷理科数学解析几何大题

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}3=1$的焦点在$x$轴上，$A$是$E$的左顶点，斜率为$k$($k>0$)的直线交$E$于$A,M$两点，点$N$在$E$上，$MA\perp NA$．

(1) 当$t=4$，$|AM|=|AN|$时，求$\triangle AMN$的面积；

(2) 当$2|AM|=|AN|$时，求$k$的取值范围．

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解    (1)当$|AM|=|AN|$时，$\triangle MAN$是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知$k=1$，又$t=4$时，$A$点的坐标为$(-2,0)$，因此直线$AM$的方程为$x=y-2$，与椭圆$E$的方程联立，可得

$$y\left(\dfrac{7}{12}y-1\right)=0,$$ 于是点$M$的纵坐标为$\dfrac{12}7$，进而可得$\triangle AMN$的面积 $$S=\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{144}{49}.$$

(2) 记$a=\sqrt t$，$m=\dfrac 1k$($m>0$)，则直线$AM$的方程为

$$x=my-a,$$ 与椭圆$E$的方程联立可得 $$\left(\dfrac {m^2}{a^2}+\dfrac 13\right)y^2-\dfrac{2m}ay=0,$$ 从而点$M$的纵坐标为 $$\dfrac{6ma}{3m^2+a^2},$$ 因此点$N$的纵坐标为 $$\dfrac{-\dfrac{6a}m}{\dfrac{3}{m^2}+a^2}=\dfrac{-6ma}{3+m^2a^2},$$ 因此由$2|AM|=|AN|$可得 $$2\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\dfrac{6ma}{3m^2+a^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{m^2}}\cdot \dfrac{6ma}{3+m^2a^2},$$ 整理得 $$a^2=\dfrac{3(m^2-2m)}{2m^3-1},$$ 根据题意，有$a^2>3$，因此 $$\dfrac{3(m^2-2m)}{2m^3-1}>3,$$ 解得 $$\dfrac 12<m<\sqrt[3]{\dfrac 12},$$ 因此$k$的取值范围是$\left(\sqrt[3]2,2\right)$．