迭代函数法

已知有界数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+a$，求$a$的取值范围．

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分析    以迭代函数$f(x)=x^2+a$的不动点分布情况为依据展开讨论．

解    设函数$f(x)=x^2+a$，则$f(x)$在$x<0$时单调递减，在$x>0$时单调递增．考虑函数$f(x)$的不动点方程$x^2+a=x$，当$a\leqslant \dfrac 14$时有不动点

$$x_1=\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2,x_2=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2.$$

• 第一种情况，$a>\dfrac 14$．

此时函数$f(x)$没有不动点，根据已知有

$$a_{n+1}-a_n=a_n^2-a_n+a=\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+a-\dfrac 14>a-\dfrac 14,$$ 于是数列$\{a_n\}$无上界，不符合题意．

• 第二种情况，$0<a\leqslant \dfrac 14$．

此时$0<a<x_1$，由于此时迭代函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，于是数列$\{a_n\}$递增收敛于$x_1$，于是数列$\{a_n\}$有界，符合题意．

• 第三种情况，$-2\leqslant a\leqslant 0$．

此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$，因此数列$\{a_n\}$有界．

• 第四种情况，$a<-2$．

此时$a_2>x_2>0$，于是

$$a_{n+1}-x_2=(a_n+x_2)(a_n-x_2),$$ 于是当$n\geqslant 2$时，有 $$\dfrac{a_{n+1}-x_2}{a_n-x_2}\geqslant 2x_2>4,$$ 因此数列$\{a_n\}$无上界，不符合题意．

综上所述，$a$的取值范围是$\left[-2,\dfrac 14\right]$．

注    第三种情况可以细化为：

（1）$a=0$．

此时$a_n=0$，符合题意．

（2）$-1<a<0$．

此时$a<x_1<a^2+a<0$，由于此时迭代函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，于是数列$\{a_n\}$振荡收敛于$x_1$，于是数列$\{a_n\}$有界，符合题意．

（3）$a=-1$．

此时数列$\{a_n\}$为$-1,0,-1,0,\cdots$，因此数列$\{a_n\}$有界，符合题意．

（4）$-2<a<-1$．

此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$，因此数列$\{a_n\}$有界，从某项开始振荡收敛于$x_1$，符合题意．

（5）$a=-2$．

此时数列$\{a_n\}$为$-2,2,2,\cdots$，因此数列$\{a_n\}$有界，符合题意．