一道2013年联赛题

已知函数$f(x)=ax^2+b$，求所有正实数对$(a,b)$，使其满足对任意的$x,y\in{\bf R}$，有$f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y)$．

根据题意

$$f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y) \Leftrightarrow ax^2y^2+a(x+y)^2+2b\geqslant a^2x^2y^2+ab(x^2+y^2)+b^2.$$

令$y=-x$，则 $$(a-a^2)x^4-2abx^2+2b-b^2\geqslant 0.$$

不难得到 $$\begin{cases}a-a^2\geqslant 0\\\Delta<0\end{cases}$$ 即

$$a\in (0,1] \land 2a+b\leqslant 2.$$

令$y=0$，则 $$a(1-b)x^2+2b-b^2\geqslant 0.$$

于是可得$b\in (0,1]$．

综上，可得必要条件 $$a,b\in(0,1] \land 2a+b\leqslant 2.$$

接下来验证其充分性．

为了验证充分性，我们对不等式左右两边作差

$$\begin{split}f(xy)+f(x+y)-f(x)f(y)&=a(1-a)x^2y^2+a(1-b)x^2+a(1-b)y^2+2axy+2b-b^2\\&=\left(a(1-a)x^2y^2+2abxy+2b-b^2\right)+a(1-b)(x+y)^2.\end{split}$$

不难证明前后两个部分均为非负数，因此原问题获解．

注：验证充分性的代数变形由欧阳岚给出，该代数变形也可以绕开探索过程，直接得到充要条件．