差比数列求和算法

差比数列的概念

若数列$\{a_n\}$的通项形如$a_n=f(n)\cdot q^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），其中$f(n)$为关于$n$的多项式且$q\ne 0,1$，则称数列$\{a_n\}$是差比数列，其中多项式$f(n)$的次数$\deg f$称为差比数列$\{a_n\}$的阶．根据差比数列的概念，公差不为$0$的等差数列与公比不为$0,1$的等比数列对应项的乘积构成的数列为差比数列．特别的，我们认为等比数列为$0$阶的差比数列．

差比数列求和的错位相减法

设通项为$a_n=f(n)\cdot q^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的差比数列的前$n$项和为$S_n$，则\[\begin{array}{lll} S_n&=f(1)\cdot q^1+&f(2)\cdot q^2+f(3)\cdot q^3+\cdots+f(n)\cdot q^n,\\ q\cdot S_n&=&f(1)\cdot q^2+f(2)\cdot q^3+\cdots+f(n-1)\cdot q^{n}+f(n)\cdot q^{n+1},\end{array}\]作差可得\[(1-q)S_n=f(1)\cdot q^1+\sum_{k=2}^{n}(f(k)-f(k-1))\cdot q^k-f(n)\cdot q^{n+1},\]此时求$S_n$就转化为了求比其低$1$阶的差比数列的和．特别的，若$\{a_n\}$是一阶差比数列，则求其对应的$S_n$就转化成了求等比数列的和．这种求和方法即错位相减法．

差比数列求和的待定裂项法}

设通项为$a_n=f(n)\cdot q^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的差比数列的前$n$项和为$S_n$，则考虑令\[f(n)\cdot q^n=g(n)\cdot q^n-g(n-1)\cdot q^{n-1},\]其中$g(n)$是与$f(n)$次数相同的多项式，则\[S_n=g(n)\cdot q^n-g(0),\]因此求出了$g(n)$，就求出了$S_n$．而一般我们利用待定系数法去确定多项式$g(n)$，这种求和方法称为待定裂项法．

一阶差比数列的求和公式

已知$a\ne 0$，$q\ne 0,1$，则差比数列$\left\{(a_1+(n-1)d)\cdot q^n\right\}$的前$n$项和\[S_n=(\alpha\cdot n+\beta)\cdot q^n-\beta,\]其中\[\alpha=d\cdot \dfrac q{q-1},\beta=(a_1-\alpha)\cdot \dfrac q{q-1}.\]

证明    根据差比数列求和的待定裂项法可得$S_n$的形式，进而待定系数可得\[\begin{cases} a_1q=\alpha q+\beta (q-1),\\ a_1q+(a_1+d)q^2=2\alpha q^2+\beta (q^2-1),\end{cases}\]解之即得． }