对数函数不等式的化齐次方法

 1、已知f(x)=lnx,设0<a<b,比较a+b2baf(b)f(a)的大小.

 2、已知f(x)=exxR,设a<b,比较f(a)+f(b)2f(b)f(a)ba的大小.

 3、已知函数f(x)=xlnx,求证:f(a+b)

4、已知函数f(x)=x\ln x,若对于满足0<a<b的任意两实数a,b,总存在x_0>0,使得f'\left(x_0\right)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b},求证:a<x_0<b


提示

1、比较\ln\dfrac{b}{a}\dfrac{2(b-a)}{b+a}的大小.

2、换元可以转化为第2题.

3、比较\ln\dfrac{a+b}{2a}\dfrac ba\cdot\ln\dfrac{2b}{a+b}的大小.

4、考虑到f'(x)=1+\ln x为单调递增函数,因此只需要证明1+\ln a<\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}<1+\ln b,进而化齐次证明即可.

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对数函数不等式的化齐次方法》有6条回应

  1. Ezra说:

    第四题题目是不是将f(x)打成了f^\prime(x)?不然似乎没有办法得出提示?

  2. Pingback引用通告: 每周一招[8]对数-平均值不等式(A-L-G不等式)(高二) | 数海拾贝内容系统

  3. CP3说:

    第四题也不太会...

  4. CP3说:

    老师 第三题不会... 求解

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