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对数函数不等式的化齐次方法

1、已知 $f(x)=\ln x$ ，设 $0<a<b$ ，比较 $\dfrac{a+b}2$ 和 $\dfrac{b-a}{f(b)-f(a)}$ 的大小．

2、已知 $f(x)={\mathrm e}^x$ ， $x\in\mathcal R$ ，设 $a<b$ ，比较 $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ 和 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小．

3、已知函数 $f(x)=x\ln x$ ，求证： $f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)+(a+b)\ln2$ ．

4、已知函数 $f(x)=x\ln x$ ，若对于满足 $0<a<b$ 的任意两实数 $a,b$ ，总存在 $x_0>0$ ，使得 $f'\left(x_0\right)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ ，求证： $a<x_0<b$ ．

提示

1、比较 $\ln\dfrac{b}{a}$ 与 $\dfrac{2(b-a)}{b+a}$ 的大小．

2、换元可以转化为第2题．

3、比较 $\ln\dfrac{a+b}{2a}$ 与 $\dfrac ba\cdot\ln\dfrac{2b}{a+b}$ 的大小．

4、考虑到 $f'(x)=1+\ln x$ 为单调递增函数，因此只需要证明 $1+\ln a<\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}<1+\ln b,$ 进而化齐次证明即可．

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