对数函数不等式的化齐次方法

 1、已知\(f(x)=\ln x\)，设\(0<a<b\)，比较\(\dfrac{a+b}2\)和\(\dfrac{b-a}{f(b)-f(a)}\)的大小．

 2、已知\(f(x)={\mathrm e}^x\)，\(x\in\mathcal R\)，设\(a<b\)，比较\(\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\)和\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)的大小．

 3、已知函数\(f(x)=x\ln x\)，求证：\(f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)+(a+b)\ln2\)．

4、已知函数\(f(x)=x\ln x\)，若对于满足\(0<a<b\)的任意两实数\(a,b\)，总存在\(x_0>0\)，使得\(f'\left(x_0\right)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\)，求证：\(a<x_0<b\)．

提示

1、比较\(\ln\dfrac{b}{a}\)与\(\dfrac{2(b-a)}{b+a}\)的大小．

2、换元可以转化为第2题．

3、比较\(\ln\dfrac{a+b}{2a}\)与\(\dfrac ba\cdot\ln\dfrac{2b}{a+b}\)的大小．

4、考虑到\(f'(x)=1+\ln x\)为单调递增函数，因此只需要证明\[1+\ln a<\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}<1+\ln b,\]进而化齐次证明即可．