每日一题[96] 三角代数式求值

(2012年复旦·自主招生)\(\arctan\dfrac 13+\arctan\dfrac 15+\arctan\dfrac 17+\arctan\dfrac 18=\)_______.


cover方法一

由于\[\tan\left(\arctan\dfrac 13+\arctan\dfrac 15\right)=\dfrac{\dfrac 13+\dfrac 15}{1-\dfrac 13\cdot\dfrac 15}=\dfrac 47,\]而\[\tan\left(\arctan\dfrac 17+\arctan\dfrac 18\right)=\dfrac{3}{11},\]于是设原式为\(A\),则\[\tan A=\dfrac{\dfrac 47+\dfrac{3}{11}}{1-\dfrac 47\cdot\dfrac 3{11}}=1,\]进而可知\[A=\dfrac{\pi}{4}.\]

方法二

原题即求复数\[\begin{split}z_1&=3+{\mathrm i},\\z_2&=5+{\mathrm i},\\z_3&=7+{\mathrm i},\\z_4&=8+{\mathrm i},\end{split}\]的辐角主值之和,考虑它们的乘积\[z_1z_2z_3z_4=650+650{\mathrm i},\]因此所求值为\(\dfrac{\pi}{4}\).

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