必要条件探路

数学中的问题通常探究的是充分必要条件，比如求参数范围的问题．但对于有些复杂的问题来说，先通过必要条件探探路，有时会给解题带来便利，比如可以缩小讨论的范围或者需要考虑的情形．

例题一　若关于$x$的不等式$x^2-mx+m+2>0$对$x\in[-2,4]$恒成立，则$m$的取值范围是_______．分析与解　因为不等式对于$x\in [-2,4]$恒成立，所以当$x=-2$与$x=4$时不等式一定成立，即$m$满足下面的不等式组 $$\begin{cases} 4+2m+m+2>0,\\16-4m+m+2>0,\end{cases}$$ 解得$m\in (-2,6)$，这是一个必要条件，即$m$一定在此范围内．于是得到二次函数 $$f(x)=x^2-mx+m+2$$ 的对称轴$x=\dfrac m2\in(-1,3)\subseteq [-2,4]$内．即二次函数$f(x)$在$[-2,4]$内必取到最小值，要保证不等式成立，必须有判别式 $$\Delta=m^2-4(m+2)<0,$$ 解得$m\in(2-2\sqrt 3,2+2\sqrt 3)$．

例题二　（2015年北京西城高三期末理科）设$D$为不等式组 $$\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}$$ 表示的平面区域，点$B(a,b)$为坐标平面$xOy$内的一点，若对于区域$D$内的任一点$A(x,y)$，都有$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1$成立，则$a+b$的最大值是________．

分析与解　一方面，取平面区域$D$内的一点$A\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，由题意可得 $$\frac 12a+\frac 12b\leqslant 1,$$ 于是 $$a+b\leqslant 2.$$ 另一方面，取点$B(1,1)$，则此时 $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x+y,$$ 根据$D$的不等式组表达，有$x+y\leqslant 1$，于是$a+b$可以取到$2$．

综上所述，$a+b$的最大值为$2$．

每日一题中涉及到必要条件探路的题常常会引起一些读者的质疑，可能是因为这与我们通常的解题思维区别较大．由必要条件得出的范围是必须满足的范围，所以讨论只需要限定在这个范围内进行就可以．而如果我们同时又证明了这个范围内所有数都可以取到，那么这个过程在逻辑上就是严密的．

最后给出两道练习：

练习一　设函数$f(x)=x^2-ax+a+3$，$g(x)=ax-2a$，若存在$x_0\in\mathcal{R}$，使得$f(x_0)<0$与$g(x_0)<0$同时成立，则实数$a$的取值范围为____．

答案    $(7,+\infty)$

提示    本题中要使得$f(x_0)<0$成为可能，必须有 $$\Delta=(-a)^2-4(a+3)>0，$$ 从而有 $$a>6\ \lor\ a<-2.$$ 结合图象知，无论$a>6$还是$a<-2$，都只需要$f(2)<0$，从而得到结果．

练习二　若$a\geqslant 0$，$b\geqslant 0$，且当 $$\begin{cases}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\\x+y\leqslant 1\end{cases}$$ 时，恒有$ax+by\leqslant 1$，则$P(a,b)$所形成的平面区域的面积等于_____．

答案　$1$

提示　因为$(1,0)$与$(0,1)$都在区域内，所以$0\leqslant a\leqslant 1$，$0\leqslant b\leqslant 1$为必要条件．又当$0\leqslant a\leqslant 1$且$0\leqslant b\leqslant 1$时，恒有$ax+by\leqslant x+y\leqslant 1$，所以这就是$(a,b)$的约束条件．

更多相关问题见每日一题[468]必要条件探路．