数学中的问题通常探究的是充分必要条件，比如求参数范围的问题．但对于有些复杂的问题来说，先通过必要条件探探路，有时会给解题带来便利，比如可以缩小讨论的范围或者需要考虑的情形．
例题一 若关于$x$的不等式$x^2-mx+m+2>0$对$x\in[-2,4]$恒成立，则$m$的取值范围是_______．
分析与解 因为不等式对于$x\in [-2,4]$恒成立，所以当$x=-2$与$x=4$时不等式一定成立，即$m$满足下面的不等式组$$\begin{cases} 4+2m+m+2>0,\\16-4m+m+2>0,\end{cases} $$解得$m\in (-2,6)$，这是一个必要条件，即$m$一定在此范围内．于是得到二次函数$$f(x)=x^2-mx+m+2$$的对称轴$x=\dfrac m2\in(-1,3)\subseteq [-2,4]$内．即二次函数$f(x)$在$[-2,4]$内必取到最小值，要保证不等式成立，必须有判别式$$\Delta=m^2-4(m+2)<0,$$解得$m\in(2-2\sqrt 3,2+2\sqrt 3)$．
例题二 （2015年北京西城高三期末理科）设\(D\)为不等式组\[\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}\]表示的平面区域，点\(B(a,b)\)为坐标平面\(xOy\)内的一点，若对于区域\(D\)内的任一点\(A(x,y)\)，都有\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1\)成立，则\(a+b\)的最大值是________．
分析与解 一方面，取平面区域\(D\)内的一点\(A\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\)，由题意可得\[\frac 12a+\frac 12b\leqslant 1,\]于是\[a+b\leqslant 2.\]另一方面，取点\(B(1,1)\)，则此时\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x+y,\]根据\(D\)的不等式组表达，有\(x+y\leqslant 1\)，于是\(a+b\)可以取到\(2\)．
综上所述，\(a+b\)的最大值为\(2\)．
每日一题中涉及到必要条件探路的题常常会引起一些读者的质疑，可能是因为这与我们通常的解题思维区别较大．由必要条件得出的范围是必须满足的范围，所以讨论只需要限定在这个范围内进行就可以．而如果我们同时又证明了这个范围内所有数都可以取到，那么这个过程在逻辑上就是严密的．
最后给出两道练习：
练习一 设函数\(f(x)=x^2-ax+a+3\)，\(g(x)=ax-2a\)，若存在\(x_0\in\mathcal{R}\)，使得\(f(x_0)<0\)与\(g(x_0)<0\)同时成立，则实数\(a\)的取值范围为____．
答案 \((7,+\infty)\)
提示 本题中要使得\(f(x_0)<0\)成为可能，必须有\[\Delta=(-a)^2-4(a+3)>0，\]从而有\[a>6\ \lor\ a<-2.\]结合图象知，无论\(a>6\)还是\(a<-2\)，都只需要\(f(2)<0\)，从而得到结果．
练习二 若\(a\geqslant 0\)，\(b\geqslant 0\)，且当\[\begin{cases}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\\x+y\leqslant 1\end{cases}\]时，恒有\(ax+by\leqslant 1\)，则\(P(a,b)\)所形成的平面区域的面积等于_____．
答案 $1$
提示 因为$(1,0)$与$(0,1)$都在区域内，所以\(0\leqslant a\leqslant 1\)，\(0\leqslant b\leqslant 1\)为必要条件．又当$0\leqslant a\leqslant 1$且$0\leqslant b\leqslant 1$时，恒有$ax+by\leqslant x+y\leqslant 1$，所以这就是$(a,b)$的约束条件．
更多相关问题见每日一题[468]必要条件探路．