初高衔接[5]解不等式(1)

快速解一元二次不等式是高中数学的一项重要基本功，一元二次不等式、二次函数与一元二次方程关系紧密，熟练地解一元二次不等式需要熟悉二次函数的草图画法、一元二次方程的根的判别式以及因式分解中的十字相乘法．

以解$ax^2+bx+c>0,a\ne 0$为例，解此不等式的基本想法是：首先，不等式的解集就是一元二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的部分（因为$y>0$对应$x$轴上方）对应的横坐标的范围，所以画出对应二次函数的图象即可结合图象得到解集．其次，画图时，重要的是二次函数与$x$轴的交点与开口方向（注意，如果是求函数值的取值范围，那么重要的就是顶点坐标与开口方向了，不同目的下需要的形式不同！），而二次函数与$x$轴的交点的个数取决于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的个数，所以需要计算判别式$\Delta$的正负；最后，得到了方程的解，结合开口方向就得到了草图，再结合不等号方向就可以写出解集了．

解一元二次不等式的一般步骤：
(1)先将二次项系数$a$化为正数（不是必须的步骤，习惯化为正，以减少失误）；
(2)计算对应的一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$：
①若$\Delta<0$，则对应图象在$x$轴上方；
②若$\Delta =0$，则对应图象与$x$轴有且只有一个交点$\left(-\dfrac {b}{2a},0\right )$；
③若$\Delta>0$，则对应图象与$x$轴有两个交点$x_1,x_2$，先再考虑对左边进行十字相乘（优先），无法分解再考虑利用求根公式．
(3)作出函数草图，结合不等号方向得到解集．不等号为$>,<$时，可以将根标为空心点，解集中不包含它们；当不等式为$\geqslant ,\leqslant$时，可以将根标为实心点，解集中包含它们． 

一般来说，如果判别式为完全平方数（或者是可以开平方得到有理数的数），那么通常可以十字相乘，如果不能，就只能利用求根公式了．这里的步骤主要针对不等式不含参的情况．（注意：考虑到一部分新高一的读者没有学过集合，这里的解集沿用初中的形式，在高中解集必须用集合表示）

---

例题一　解不等式：

(1)$-x^2+3x-2>0$；
(2)$10x^2-13x-3\geqslant 0$；
(3)$-x^2+x-1\geqslant 0$；
(4)$x^2+4x+4>0$；
(5)$x^2-4x+1\leqslant 0$．

分析与解　(1)首先将二次项系数化为正，得到$x^2-3x+2<0$；左边可以因式分解，于是知二次函数图象与$x$轴的交点为$(1,0),(2,0)$，开口向上得到草图；最后根据不等号方向知考虑$x$轴下方的部分，解集为两根之间：
所以不等式的解集为$1<x<2$（集合形式为$\{x|1<x<2\}$）．

(2)左边因式分解得 $$(5x+1)(2x-3)\geqslant 0,$$ 对应两根为$-\dfrac 15,\dfrac 32$，结合图象知解集为两根之外：
所以不等式的解集为$x\leqslant -\dfrac 15$或$x\geqslant \dfrac 32$（集合形式为$\left\{x\left|x\leqslant -\dfrac 15\lor x\geqslant \dfrac 32\right.\right \}$）．

(3)不等式即$x^2-x+1\leqslant 0$，此不等式对应的$\Delta=1-4<0$，所以函数图象恒在$x$轴上方，不等式无解（集合形式为$\varnothing$）；

(4)不等式对应的$\Delta=0$，函数图象与$x$轴仅有一个交点，所以不等式的解集为$x\ne -2$（集合形式为$\left\{x\left|\right.x\ne -2\right \}$）．

(5)不等式对应的$\Delta =12>0$，不是完全平方数，函数图象与$x$轴有两个交点，用求根公式解得对应方程的两解为$2\pm\sqrt 3$．结合图象知解集为两根之间，所以不等式的解集为$2-\sqrt 3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt 3$．（集合形式为$\left\{x\left|2-\sqrt 3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt 3\right.\right\}$）

---

注1　含参的一元二次不等式的解集我们会在高一再讨论．

注2　“$\lor$”表示“或”，“$\land$”表示“且”，因为符号中间无法插入汉字，所以“或”与“且”会用$\lor$与$\land$表示．

---

只含有一个未知数，且未知数次数高于两次的不等式称为高次不等式．对于一侧为零，另一侧因式分解为一次式的高次不等式，我们可以求解，通过具体例题来看：解不等式 $$(x+1)(x-1)(x-2)>0.$$ 我们尝试画出三次函数$y=(x+1)(x-1)(x-2)$的正负示意图（只关心图象是在$x$轴上方还是下方，并且不需要$y$轴）：
首先，画出图象与数轴的三个交点$-1,1,2$；
其次，在每个交点左右两侧函数值的正负都会发生变化；
最后，在$2$的右侧（$x>2$时）函数值为正；
于是我们用一条光滑的曲线从$2$的右上方开始画图，依次穿过各个交点，如下：不等式的解集对应$y>0$的部分，即图象在$x$轴上方的部分对应的横坐标的范围是不等式解集，所以是$-1<x<1$或$x>2$．

---

如果高次不等式为 $$(x+1)(x-1)^2(x-2)(x-3)<0,$$ 那么我们会发现，在数轴上$1$的左右两侧多项式符号相同，也就是从$1<x<2$这段到$-1<x<1$这段上，图象始终在$x$轴同一侧，不用穿过$x$轴，所以示意图如下：我们将这个规律简单表述为：奇穿偶不穿，即如果一个因式的次数是偶次的，那么图象在该点不穿过$x$轴．由示意图知，不等式解集为$x<-1$或$2<x<3$．

---

这种解高次不等式的方法我们称为穿根法，通常步骤是：
①将不等式最高次项系数化为正，再因式分解；
②将对应的方程的根标在数轴上，将数轴分成若干段；
③从最右边一段开始，从$x$轴上方开始穿$x$轴，奇穿偶不穿；
④根据不等式符号，结合示意图得到解集．

---

例题二　解高次不等式：

(1)$x^3(x+1)(x-1)^2(x-3)\geqslant 0$；
(2)$(x^3-x^2-4x+4)(x^2+x+2)<0$；
(3)$(x^2+4x+4)(-x^2-x+2)(x^2-5x+4)\leqslant 0$．

分析与解　(1)因为等号可以取到，所以对应的方程的根取实心点，由穿根法知示意图如下：于是知不等式解集为$-1\leqslant x\leqslant 0$或$x=1$或$x\geqslant 3$．

(2)由判别式知$x^2+x+2>0$恒成立，于是不等式等价于 $$x^3-x^2-4x+4<0.$$ 由猜根法或因式分解得$(x+2)(x-1)(x-2)<0$，从而知解集为$x<-2$或$1<x<2$．

(3)首先将不等式左边因式分解，再将最高次项系数化为正，得到 $$(x+2)^3(x-1)^2(x-4)\geqslant 0,$$ 结合示意图知不等式解集为$x\leqslant -2$或$x=1$或$x\geqslant 4$．

---

最后给出一组练习：

解不等式：
(1)$4x^2+4x-15\geqslant 0$；
(2)$4x^2+4x+15\geqslant 0$；
(3)$4x^2+4x+1\leqslant 0$；
(4)$-2x^2+2x+3>0$；
(5)$(x+2)^2(x+1)(x-1)^3(x-2)<0$；
(6)$6x^3-5x^2-2x+1\leqslant 0$．

答案　(1)$x\leqslant -\dfrac 52$或$x\geqslant \dfrac 32$；
(2)全体实数；
(3)$x=-\dfrac 12$；
(4)$\dfrac {1-\sqrt 7}{2}<x<\dfrac {1+\sqrt 7}{2}$；
(5)$x<-2$或$-2<x<-1$或$1<x<2$；
(6)$x\leqslant -\dfrac 12$或$\dfrac 13\leqslant x\leqslant 1$．