两圆的公共弦

如果两圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$相交，则对应一条公共弦$AB$，将这两圆的方程相减可以得到 $$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0,$$ 因为两圆相交，所以$D_1-D_2$与$E_1-E_2$不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点$A,B$的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知$A,B$在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．

结论　如果两圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$相交，则公共弦所在直线的方程为 $$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0.$$ 由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：

过圆$C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线$PA,PB$，其中$A,B$为切点，求切点弦$AB$所在的直线方程．

解　因为$\angle PAC=\angle PBC$，所以$P,A,C,B$四点共圆，且$PC$为直径，所以这四点所在的圆的方程为 $$(x-a)(x-x_0)+(y-b)(y-y_0)=0,$$ 记此圆为圆$M$． 则圆$C$与圆$M$的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程 $$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.$$

注　上面的过程中用到：以$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$为直径的圆的方程为 $$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,$$ 这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．

例题一　(1)圆$C_1:x^2+y^2+4x+1=0$及圆$C_2:x^2+y^2+2x+2y+1=0$的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为______________；
(2)若圆$(x-a)^2+(y-b)^2=b^2+1$始终平分圆$(x+1)^2+(y+1)^2=4$的周长，则$a,b$满足的关系是__________________．

分析与解　(1)两圆相减得$x-y=0$，第二个圆的圆心$(-1,-1)$恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为$2$，以公共弦为直径的圆的方程为$x^2+y^2+2x+2y+1=0$，如图：(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为 $$(2+2a)x+(2+2b)y-(a^2+1)=0,$$ 由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心$(-1,-1)$始终在公共弦上，代入整理得 $$a^2+2a+2b+5=0.$$

例题二　圆$O:x^2+y^2=4$与圆$C:x^2+y^2-8x+8=0$的公共弦为$AB$，则四边形$OACB$的面积为_____．

分析与解　将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为$x=\dfrac 32$．于是圆心$O$到公共弦$AB$的距离$d=\dfrac 32$，从而知 $$\dfrac {AB}{2}=\sqrt{4-\left(\dfrac 32\right)^2}=\dfrac {\sqrt 7}{2},$$ 故公共弦$AB=\sqrt 7$．又因为$AB\perp OC$，所以所求四边形面积 $$S=\dfrac 12\cdot OC\cdot AB=2\sqrt 7.$$

最后给出两道练习：

练习一　已知两圆$x^2+y^2=50$和$x^2+y^2-12x-6y+40=0$相交于$A,B$两点，则直线$AB$的方程是_______，弦$AB$的长度是_______．

答案　$2x+y-15=0$，$2\sqrt 5$．

提示　第二个圆的圆心$(6,3)$在公共弦上，故$AB$是此圆的直径．

练习二　若圆$x^2+y^2=4$与圆$x^2+y^2+2ay-6=0(a>0)$的公共弦长为$2$，则$a=$____．

答案　$\dfrac {\sqrt 3}{3}$．

注　“将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点$P$对圆$O$的圆幂定义为$PO^2-r^2$，其中$r$为圆$O$的半径）．