我们知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，不管在初中还是高中，这都是我们最常见的一种函数．二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c,两根式（其中x1,x2是对应一元二次方程的两根）y=a(x−x1)(x−x2)与顶点式（其中(h,k)是顶点坐标）y=a(x−h)2+k.在使用待定系数法求二次函数的解析式时，要合理选择函数的形式．
例题一 已知二次函数的图象经过点(1,1),(5,1),(3,−3)，求此二次函数的解析式．
分析与解 法一（一般式）
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则有{a+b+c=1,25a+5b+c=1,9a+3b+c=−3.解得{a=1,b=−6,c=6于是所求二次函数为y=x2−6x+6．
法二（顶点式）
因为x=1与x=5时，对应函数值相等，故x=5+12=3是函数的对称轴，所以(3,−3)是函数的顶点，从而所求二次函数可以设为y=a(x−3)2−3,将(1,1)代入得a(1−3)2−3=1,解得a=1，故所求二次函数为y=(x−3)2−3=x2−6x+6.法三（两根式）
由题意知所求二次函数向下平移一个单位即过点(1,0),(5,0)，故此二次函数可以设为y=a(x−1)(x−5)+1,将(3,−3)代入知a(3−1)(3−5)+1=−3,解得a=1，所以所求二次函数为y=(x−1)(x−5)+1=x2−6x+6.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a).当自变量x没有限制时，y的取值范围是大于等于4ac−b24a（a>0）或小于等于4ac−b24a（a<0）的全体实数．当x有范围限制时，y的取值范围就需要结合二次函数的开口方向与对称轴位置，以及自变量的限制进行分类讨论了．
例题二 (1)在1⩽x⩽a（a为大于1的常数）的情况下，求y=−x2+4x的最大值M和最小值m；
(2)在−1⩽x⩽1的情况下，求y=x2−2ax−1的最大值M和最小值m．
分析与解 (1)二次函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=2，顶点为(2,4)，如图：
①当1<a⩽2时，当x=1时，y有最小值；当x=a时，y有最大值；
②当2<a⩽3时，当x=1时，y有最小值；当x=2时，y有最大值；
③当a>3时，当x=a时，y有最小值；当x=2时，y有最大值．
综上知最大值M={−a2+4a,1<a⩽2,4,a>2.最小值m={3,1<a⩽3,−a2+4a,a>3.
(2)法一 直接数形结合
二次函数的对称轴为x=a，根据对称轴是否在给定的自变量的范围内进行讨论，即讨论a与−1,1的大小关系，即可求出最值，如图：
①当a<−1时，二次函数在x=−1处取到最小值，在x=1处取到最大值；
②当−1⩽a⩽1时，二次函数在x=a取到最小值；最大值需要比较x=−1与x=1处函数值的大小，即比较−1,1离对称轴x=a的远近，当a<0时，最大值在x=1处取到；当a>0时，最大值在x=−1处取到；当a=0时，x=1与x=−1处函数值相等；
③当a>1时，二次函数在x=−1处取得最大值，在x=1处取到最小值．
综上知，最大值M={−2a,a⩽0,2a,a>0,最小值m={2a,a<−1,−a2−1,−1⩽a⩽1,−2a,a>1.法二 抓住图象特征，比较端点值
先讨论最大值：因为二次函数开口向上，所以最大值只可能在x=1或x=−1处取得．又因为x=1,y=−2a;x=−1,y=2a.直接比较−2a,2a的大小即得最大值M={−2a,a⩽0,2a,a>0.再考虑最小值：当对称轴在所求范围内，即−1⩽a⩽1时，最小值在顶点处取得，为−a2−1；当对称轴不在所求范围内，同样比较端点1,−1处函数值的大小即得m={2a,a<−1,−a2−1,−1⩽a⩽1,−2a,a>1.
注 (1)中的问题我们称为定轴动区间问题，(2)中的问题我们称为动轴定区间问题．
最后给出两道练习：
练习一 已知二次函数的图象经过点(−1,1),(1,1),(0,2)，求此二次函数的解析式．
答案 y=−x2+2．
练习二 已知二次函数y=−x2+2ax，当0⩽x⩽2时，求y的最大值M与最小值m．
答案 最大值M={0,a<0,a2,0⩽a⩽2,4a−4,a>2.最小值m={4a−4,a⩽1,0,a>1.