初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理

一元二次方程$ax^2+bx+c=0$如果有两根$x_1,x_2$，则有根与系数的关系

$$x_1+x_2=-\dfrac ba,x_1x_2=\dfrac ca.$$ 我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为$x_1,x_2$是方程的两根，所以 $$\begin{split} ax^2+bx+c=&a(x-x_1)(x-x_2)\\=&ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2,\end{split}$$ 对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．

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例题一　已知$a,b$是方程$x^2+4x+1=0$的两根，求下列各式的值：

(1)$a^2+b^2$，$a^3+b^3$；
(2)$\dfrac 1a+\dfrac 1b$，$\dfrac ab+\dfrac ba$；
(3)$|a-b|$．

分析与解　一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知

$$a+b=-4,ab=1.$$ 于是(1)中： $$\begin{split} a^2+b^2=&(a+b)^2-2ab=14,\\a^3+b^3=&(a+b)(a^2+b^2-ab)=-52.\end{split}$$ (2)中： $$\begin{split} \dfrac 1a+\dfrac 1b=&\dfrac {a+b}{ab}=-4,\\\dfrac ab+\dfrac ba=&\dfrac {a^2+b^2}{ab}=14.\end{split}$$ (3)因为 $$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2-4ab},$$ 所以$|a-b|=2\sqrt 3$．

注　事实上，所有关于$a,b$的对称式（即交换$a,b$的顺序后，式子不变）都可以用$a+b,ab$表示出来．

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例题二　已知$\alpha ,\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两根，写出一个以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac {1}{\beta}$为两根的一元二次方程，并求$\alpha ^6+8\beta$的值．

分析与解　由韦达定理知

$$\alpha +\beta=1,\alpha \cdot\beta=-1,$$ 所以 $$\begin{cases} \dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}=\dfrac {\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1,\\\dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}=-1,\end{cases}$$ 从而以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta}$为两根的一元二次方程为 $$x^2-(-1)x-1=0,$$ 即$x^2+x-1=0$．

由韦达定理知$\beta=1-\alpha$，代入知

$$\alpha ^6+8\beta=\alpha ^6+8-8\alpha.$$ 下面来写$\alpha ^6$：

因为$\alpha$是方程的解，所以有$\alpha ^2=1+\alpha$，从而

$$\begin{split} \alpha ^4=&(1+\alpha )^2\\=&1+2\alpha +(1+\alpha )\\=&2+3\alpha.\end{split}$$ 所以有 $$\begin{split}\alpha^6=&\alpha^2\cdot\alpha^4\\=&(1+\alpha )(2+3\alpha )\\=&2+5\alpha +3(1+\alpha )\\=&8\alpha +5.\end{split}$$ 从而有$\alpha ^6+8\beta=13$．

注　事实上，令$t=\dfrac 1x$，整理得到的关于$t$的一元二次方程就是以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta}$为两根的一元二次方程．

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一元二次方程的韦达定理可以推广到一元$n$次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\ne 0)$有三个实数根$x_1,x_2,x_3$，那么有

$$\begin{split} &ax^3+bx^2+cx+d\\=&a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\=&ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3.\end{split}$$ 从而得到一元三次方程的韦达定理 $$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\dfrac ba,\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac ca,\\x_1x_2x_3=-\dfrac da.\end{cases}$$

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例题三　设$\alpha ,\beta,\gamma$是三次方程$x^3-3x+1=0$的三个根．

(1)以$\dfrac 1{\alpha },\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\gamma}$为根的三次方程是______________；

(2)以$\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma},\dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\alpha}$为根的三次方程是______________．

分析与解　由三次方程的韦达定理知

$$\begin{cases} \alpha +\beta+\gamma=0,\\\alpha \beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =-3,\\\alpha \beta\gamma=-1.\end{cases}$$ (1)因为 $$\begin{cases} \dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}=\dfrac {\beta\gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta\gamma}=3, \\\dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\beta}\cdot \dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\gamma}\cdot\dfrac 1{\alpha }=\dfrac{\alpha +\beta+\gamma}{\alpha\beta\gamma}=0,\\ \dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}\cdot\dfrac 1{\gamma}=\dfrac 1{\alpha\beta\gamma}=-1.\end{cases}$$ 所以以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\gamma}$为根的三次方程是 $$x^3- 3x^2+0\cdot x-(-1)=0,$$ 即$x^3-3x^2+1=0$．

(2)先计算三根和有

$$\begin{split} &\left(\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta}\right )+\left(\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}\right )+\left(\dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\alpha}\right )\\=&2\left(\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}\right )\\=&6.\end{split}$$ 因为 $$\dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}=\dfrac {\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac {-\gamma}{-\frac{1}{\gamma}}=\gamma^2,$$ 所以我们知道这三根就是$\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$，从而三根积为$(\alpha\beta\gamma)^2=1$．

最后计算$\alpha  ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2$的值．

先介绍一个三项的完全平方式

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.$$ 从而有 $$\begin{split} &(\alpha \beta+\beta\gamma+\gamma\alpha )^2\\=&\alpha  ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2+2\alpha \beta^2\gamma+2\alpha \beta\gamma^2+2\alpha ^2\beta\gamma\\=&\alpha  ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2+2(\alpha +\beta+\gamma)\alpha \beta\gamma\\=&\alpha  ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2\\=&9.\end{split}$$ 综上知所求的三次方程为$x^3-6x^2+9x-1=0$．

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最后给出两道练习：

练习一　已知$x_1,x_2$是方程$x^2-3x+1=0$的两根，求$x_1^2+x_2^2$，$x_1^3+x_2^3$，$(x_1+1)(x_2+1)$，$\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_2}$的值．

答案　$7,18,5,3$．

练习二　已知$a,b,c$是方程$2x^3-4x^2-6x-1=0$的三个根，求$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c,a^2+b^2+c^2$的值．

答案　$-6,10$．

提示　$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$．