一元二次方程$ax^2+bx+c=0$如果有两根$x_1,x_2$,则有根与系数的关系$$x_1+x_2=-\dfrac ba,x_1x_2=\dfrac ca.$$我们称此为一元二次方程的韦达定理,在初中是通过求根公式证明的,现在给出另外更通用的证明方式.因为$x_1,x_2$是方程的两根,所以$$\begin{split} ax^2+bx+c=&a(x-x_1)(x-x_2)\\=&ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2,\end{split}$$对比两边的系数即得韦达定理.韦达定理给出了在不解出两根的情况下,两根和与两根积的表达,在高中数学中占有非常重要的地位.
例题一 已知$a,b$是方程$x^2+4x+1=0$的两根,求下列各式的值:
(1)$a^2+b^2$,$a^3+b^3$;
(2)$\dfrac 1a+\dfrac 1b$,$\dfrac ab+\dfrac ba$;
(3)$|a-b|$.
分析与解 一元二次方程的判别式为正,由韦达定理知$$a+b=-4,ab=1.$$于是(1)中:$$\begin{split} a^2+b^2=&(a+b)^2-2ab=14,\\a^3+b^3=&(a+b)(a^2+b^2-ab)=-52.\end{split}$$(2)中:$$\begin{split} \dfrac 1a+\dfrac 1b=&\dfrac {a+b}{ab}=-4,\\\dfrac ab+\dfrac ba=&\dfrac {a^2+b^2}{ab}=14.\end{split} $$(3)因为$$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2-4ab},$$所以$|a-b|=2\sqrt 3$.
注 事实上,所有关于$a,b$的对称式(即交换$a,b$的顺序后,式子不变)都可以用$a+b,ab$表示出来.
例题二 已知$\alpha ,\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两根,写出一个以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac {1}{\beta}$为两根的一元二次方程,并求$\alpha ^6+8\beta$的值.
分析与解 由韦达定理知$$\alpha +\beta=1,\alpha \cdot\beta=-1,$$所以$$\begin{cases} \dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}=\dfrac {\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1,\\\dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}=-1,\end{cases} $$从而以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta}$为两根的一元二次方程为$$x^2-(-1)x-1=0,$$即$x^2+x-1=0$.
由韦达定理知$\beta=1-\alpha$,代入知$$\alpha ^6+8\beta=\alpha ^6+8-8\alpha.$$下面来写$\alpha ^6$:
因为$\alpha$是方程的解,所以有$\alpha ^2=1+\alpha $,从而$$\begin{split} \alpha ^4=&(1+\alpha )^2\\=&1+2\alpha +(1+\alpha )\\=&2+3\alpha.\end{split}$$所以有$$\begin{split}\alpha^6=&\alpha^2\cdot\alpha^4\\=&(1+\alpha )(2+3\alpha )\\=&2+5\alpha +3(1+\alpha )\\=&8\alpha +5.\end{split} $$从而有$\alpha ^6+8\beta=13$.
注 事实上,令$t=\dfrac 1x$,整理得到的关于$t$的一元二次方程就是以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta}$为两根的一元二次方程.
一元二次方程的韦达定理可以推广到一元$n$次方程中去,我们处理较多的是一元三次方程,如果$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\ne 0)$有三个实数根$x_1,x_2,x_3$,那么有$$\begin{split} &ax^3+bx^2+cx+d\\=&a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\=&ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3.\end{split}$$从而得到一元三次方程的韦达定理$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\dfrac ba,\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac ca,\\x_1x_2x_3=-\dfrac da.\end{cases} $$
例题三 设$\alpha ,\beta,\gamma$是三次方程$x^3-3x+1=0$的三个根.
(1)以$\dfrac 1{\alpha },\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\gamma}$为根的三次方程是______________;
(2)以$\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma},\dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\alpha}$为根的三次方程是______________.
分析与解 由三次方程的韦达定理知$$\begin{cases} \alpha +\beta+\gamma=0,\\\alpha \beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =-3,\\\alpha \beta\gamma=-1.\end{cases} $$(1)因为$$\begin{cases} \dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}=\dfrac {\beta\gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta\gamma}=3, \\\dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\beta}\cdot \dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\gamma}\cdot\dfrac 1{\alpha }=\dfrac{\alpha +\beta+\gamma}{\alpha\beta\gamma}=0,\\ \dfrac 1{\alpha}\cdot\dfrac 1{\beta}\cdot\dfrac 1{\gamma}=\dfrac 1{\alpha\beta\gamma}=-1.\end{cases} $$所以以$\dfrac 1{\alpha},\dfrac 1{\beta},\dfrac 1{\gamma}$为根的三次方程是$$x^3- 3x^2+0\cdot x-(-1)=0,$$即$x^3-3x^2+1=0$.
(2)先计算三根和有\[\begin{split} &\left(\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta}\right )+\left(\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}\right )+\left(\dfrac 1{\gamma}+\dfrac 1{\alpha}\right )\\=&2\left(\dfrac 1{\alpha }+\dfrac 1{\beta}+\dfrac 1{\gamma}\right )\\=&6.\end{split}\]因为\[\dfrac 1{\alpha}+\dfrac 1{\beta}=\dfrac {\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac {-\gamma}{-\frac{1}{\gamma}}=\gamma^2,\]所以我们知道这三根就是$\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$,从而三根积为$(\alpha\beta\gamma)^2=1$.
最后计算$\alpha ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2$的值.
先介绍一个三项的完全平方式$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.$$从而有$$\begin{split} &(\alpha \beta+\beta\gamma+\gamma\alpha )^2\\=&\alpha ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2+2\alpha \beta^2\gamma+2\alpha \beta\gamma^2+2\alpha ^2\beta\gamma\\=&\alpha ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2+2(\alpha +\beta+\gamma)\alpha \beta\gamma\\=&\alpha ^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha ^2\\=&9.\end{split} $$综上知所求的三次方程为$x^3-6x^2+9x-1=0$.
最后给出两道练习:
练习一 已知$x_1,x_2$是方程$x^2-3x+1=0$的两根,求$x_1^2+x_2^2$,$x_1^3+x_2^3$,$(x_1+1)(x_2+1)$,$\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_2}$的值.
答案 $7,18,5,3$.
练习二 已知$a,b,c$是方程$2x^3-4x^2-6x-1=0$的三个根,求$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c,a^2+b^2+c^2$的值.
答案 $-6,10$.
提示 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.
例题三的“分析与解”的(2)中,“从而有”之后的连等式的第一个等号之后的式子的第五项的系数应为2。
谢谢,已改