一元二次方程ax2+bx+c=0如果有两根x1,x2,则有根与系数的关系x1+x2=−ba,x1x2=ca.我们称此为一元二次方程的韦达定理,在初中是通过求根公式证明的,现在给出另外更通用的证明方式.因为x1,x2是方程的两根,所以ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2,对比两边的系数即得韦达定理.韦达定理给出了在不解出两根的情况下,两根和与两根积的表达,在高中数学中占有非常重要的地位.
例题一 已知a,b是方程x2+4x+1=0的两根,求下列各式的值:
(1)a2+b2,a3+b3;
(2)1a+1b,ab+ba;
(3)|a−b|.
分析与解 一元二次方程的判别式为正,由韦达定理知a+b=−4,ab=1.于是(1)中:a2+b2=(a+b)2−2ab=14,a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)=−52.(2)中:1a+1b=a+bab=−4,ab+ba=a2+b2ab=14.(3)因为|a−b|=√(a−b)2=√(a+b)2−4ab,所以|a−b|=2√3.
注 事实上,所有关于a,b的对称式(即交换a,b的顺序后,式子不变)都可以用a+b,ab表示出来.
例题二 已知α,β是方程x2−x−1=0的两根,写出一个以1α,1β为两根的一元二次方程,并求α6+8β的值.
分析与解 由韦达定理知α+β=1,α⋅β=−1,所以{1α+1β=α+βαβ=−1,1α⋅1β=−1,从而以1α,1β为两根的一元二次方程为x2−(−1)x−1=0,即x2+x−1=0.
由韦达定理知β=1−α,代入知α6+8β=α6+8−8α.下面来写α6:
因为α是方程的解,所以有α2=1+α,从而α4=(1+α)2=1+2α+(1+α)=2+3α.所以有α6=α2⋅α4=(1+α)(2+3α)=2+5α+3(1+α)=8α+5.从而有α6+8β=13.
注 事实上,令t=1x,整理得到的关于t的一元二次方程就是以1α,1β为两根的一元二次方程.
一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n次方程中去,我们处理较多的是一元三次方程,如果ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个实数根x1,x2,x3,那么有ax3+bx2+cx+d=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x1x3+x2x3)x−ax1x2x3.从而得到一元三次方程的韦达定理{x1+x2+x3=−ba,x1x2+x1x3+x2x3=ca,x1x2x3=−da.
例题三 设α,β,γ是三次方程x3−3x+1=0的三个根.
(1)以1α,1β,1γ为根的三次方程是______________;
(2)以1α+1β,1β+1γ,1γ+1α为根的三次方程是______________.
分析与解 由三次方程的韦达定理知{α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=−3,αβγ=−1.(1)因为{1α+1β+1γ=βγ+αγ+αβαβγ=3,1α⋅1β+1β⋅1γ+1γ⋅1α=α+β+γαβγ=0,1α⋅1β⋅1γ=1αβγ=−1.所以以1α,1β,1γ为根的三次方程是x3−3x2+0⋅x−(−1)=0,即x3−3x2+1=0.
(2)先计算三根和有(1α+1β)+(1β+1γ)+(1γ+1α)=2(1α+1β+1γ)=6.因为1α+1β=α+βαβ=−γ−1γ=γ2,所以我们知道这三根就是α2,β2,γ2,从而三根积为(αβγ)2=1.
最后计算α2β2+β2γ2+γ2α2的值.
先介绍一个三项的完全平方式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.从而有(αβ+βγ+γα)2=α2β2+β2γ2+γ2α2+2αβ2γ+2αβγ2+2α2βγ=α2β2+β2γ2+γ2α2+2(α+β+γ)αβγ=α2β2+β2γ2+γ2α2=9.综上知所求的三次方程为x3−6x2+9x−1=0.
最后给出两道练习:
练习一 已知x1,x2是方程x2−3x+1=0的两根,求x21+x22,x31+x32,(x1+1)(x2+1),1x1+1x2的值.
答案 7,18,5,3.
练习二 已知a,b,c是方程2x3−4x2−6x−1=0的三个根,求1a+1b+1c,a2+b2+c2的值.
答案 −6,10.
提示 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca).
例题三的“分析与解”的(2)中,“从而有”之后的连等式的第一个等号之后的式子的第五项的系数应为2。
谢谢,已改