圆心到直线的距离

圆有很多美好的性质，在解析几何中，处理直线与圆的相关问题的方法与以后处理直线与其它曲线的相关问题的方法有显著差异．判断直线与圆的位置关系、研究圆上的点到某直线的距离以及研究过圆内一点的弦的长度的范围等问题通常都转化为圆心到直线的距离$d$的范围问题，在这些问题中，由于圆的几何性质，大大简化了代数计算．为了方便，在本文中，圆中的弦长都用$m$表示，弦心距（即圆心到直线的距离）都用$d$表示．比如，过点$P(4,0)$的直线$l$与圆$(x-2)^2+y^2=1$有公共点，求直线$l$的斜率$k$的取值范围．

解　由题意知$l$的方程$y=k(x-4)$，不需要联立，直接由圆心$C(2,0)$到直线的距离

$$d=\dfrac{|2k-4k|}{\sqrt{1+k^2}}\leqslant r=1,$$ 解得$k^2\leqslant \dfrac 13$，就可以得到结果．

也可以作出草图，考虑相切时的临界情况，求出相关的角度

$$\angle APC=\angle BPC= 30^\circ,$$ 再结合趋势得到斜率的范围．下面我们来看一类将圆上的点到某条直线的距离转化成圆心到某直线的距离的问题：

例题一　若圆$C:(x-2)^2+(y-2)^2=18$上恰好有两个不同的点到直线$l:x-y+c=0$的距离为$2\sqrt 2$，则$c$的取值范围是__________．

分析与解　可以考虑与直线$l$距离为$D=2\sqrt 2$的两条平行线与圆$C$的交点：

结合上面两种临界情况知，当圆心到直线$l$的距离$r-D<d<D+r$时，两条平行线与圆的交点个数恰为两个，即圆上恰好有两个点到直线$l$的距离为$D$．即

$$\sqrt 2<d=\dfrac{|c|}{\sqrt 2}<5\sqrt 2,$$ 解得$2<|c|<10$，即$c\in(-10,-2)\cup(2,10)$．

注　有兴趣可以计算一下，如果把题目条件“恰好有两个点”改成“至少有三个点”，那么$c$的范围是多少？答案是$[-2,2]$．

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过圆内一点的弦的长度的范围也是直线与圆中常研究的问题，解题关键是弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形．

例题二　已知圆的方程为$x^2+y^2-6x-8y=0$．设该圆过点$M(3,5)$的最长弦和最短弦分别为$AC$和$BD$，则四边形$ABCD$的面积为_______．

分析与解　圆的标准方程为

$$(x-3)^2+(y-4)^2=5^2,$$ 记圆心为$P$，点$M$在圆内：

过圆内一点的最长弦显然为直径，下面看最短弦：

因为弦长$m$满足

$$m=2\sqrt{r^2-d^2},$$ 故最短弦长对应最大的弦心距$d$，而$d\leqslant PM$，故当$d=PM$，即点$M$为弦中点时，弦长$m$有最小值．所以过点$M$作$BD\perp PM$，得到的弦长即为最短弦长，此时$d=PM=1$，如上图．四边形$ABCD$的面积 $$S=\dfrac 12\cdot AC\cdot BD=r\cdot 2\sqrt{r^2-d^2}=20\sqrt 6.$$

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最后给出两道练习：

练习一　过点$A(1,\sqrt 2)$的直线$l$将圆$C:(x-2)^2+y^2=4$分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线$l$的斜率$k=$______．

答案　$\dfrac {\sqrt 2}{2}$

提示　劣弧所对的圆心角最小即弦长最小，也即弦心距最大，此时$l\perp AC$．

练习二　圆$x^2+y^2+2x+4y-3=0$上到直线$l:x+y+1=0$的距离为$\sqrt 2$的点有____个．

答案　$3$．

练习三　已知两点$A(0,-3),B(4,0)$，若点$P$是圆$x^2+(y-1)^2=1$上的动点，则$\triangle ABP$面积的最小值是_____．

答案　$\dfrac {11}{2}$．

提示　点$P$到直线$AB$的距离的最小值为$d-r$，其中$d$是圆心到直线的距离．