空集优先

空集是一个特殊的集合，它有一些特殊的规定，如空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．在遇到与集合的关系或运算相关的问题时，优先考虑空集的可能性，避免错误．

例题　(1)已知集合$A=\{x|x^2+4x+3=0\}$，$B=\{x|x^2+2(a-1)x+a^2-6=0\}$，$C=\{x|bx-1=0\}$．若$A\cap B=B$，则实数$a$的取值范围是_________；若$A\cup C=A$，则实数$b$组成的集合是________．

(2)已知集合$A=\{x|a-1<x<2a+1\}$，$B=\{x|0<x<5\}$，若$A\subsetneqq B$，则实数$a$的取值范围是__________．

(3)已知集合$A=\left\{x\left|\dfrac {x-4}{x+1}\leqslant 0\right.\right\}$，集合$B=\{x|(x-2a)(x-a^2-1)<0\}$，若$A\cap B=\varnothing$，则实数$a$的取值范围是_______．

(4)已知集合$A = \left\{ {x \left|\right. p{x^2} +px + 1 = 0 , p \in {\mathcal{R}}} \right\}$，$B=\{x|x>0\}$，若$A \cap B = \varnothing$，则$p$的取值范围是_______．

答案　(1)$\{3\}\cup\left(\dfrac 72,+\infty\right)$，$\left\{0,-1,-\dfrac 13\right\}$．
(2)$(-\infty,-2]\cup [1,2]$；
(3)$\{1\}\cup[2,+\infty)$；
(4)$[0,+\infty)$．

分析与解　(1)$A=\{-1,-3\}$，题意即$B,C$均为$A$的子集，所以集合$B,C$均可为空集．

集合$B$中的一元二次方程对应的判别式

$$\Delta=4(a-1)^2-4(a^2-6)=4(7-2a),$$ 当$\Delta <0$，即$a>\dfrac 72$时，$B=\varnothing$满足题意；
当$\Delta =0$，即$a=\dfrac 72$时，$B=\left\{-\dfrac 52\right \}$不满足题意；
当$\Delta >0$时，必然有$A=B=\{-1,-3\}$，从而解得$a=3$．

集合$C$中的方程当$b=0$时无解，满足题意；
当$b\ne 0$时，$B=\left\{\dfrac 1b\right \}$，所以$\dfrac 1b$可以等于$-1$或$-3$，解得

$$b=-1\lor -\dfrac 13.$$
(2)注意集合$A$为空集的条件是$a-1\geqslant 2a+1$，解得$a\leqslant -2$；
当$A\ne \varnothing$时，结合数轴知 $$\begin{cases} a-1\geqslant 0,\\2a+1\leqslant 5,\\a-1<2a+1.\end{cases}$$ 且等号不能同时取到，解得$1\leqslant a\leqslant 2$．

(3)注意集合$A$是半开半闭区间$A=(-1,4]$．
因为$a^2+1\geqslant 2a$，所以当$a=1$时，集合$B$是空集；
当$a\ne 1$时，$B=(2a,a^2+1)$，结合数轴时，$2a\geqslant 4$时满足题意．

(4)对于$A$中的方程，首先考虑$p=0$，此时$A=\varnothing$满足题意；
当$p\ne 0$且$\Delta=p(p-4)$．
若$\Delta<0$，即$0<p<4$时，$A=\varnothing$满足题意；
当$p<0$时，$A$中方程有一正根一负根，不满足要求；
当$p\geqslant 4$时，$B$中方程有两个负根（由两根和为负，两根积为正知）满足题意．

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最后给出一组练习：

（1）已知集合$A = \left\{ {x \left|\right.- 2 \leqslant x \leqslant 7} \right\}$，$B = \left\{ {x\left|\right.m + 1 < x < 2m-1} \right\}$ ，若$A \cup B = A$，则实数$m$的取值范围是 ____；

(2)已知集合$A=\{x|-2<x\leqslant 2\}$，集合$B=\{x|x^2-4ax+3a^2<0\}$，若$B\cap A=\varnothing$，则实数$a$的取值范围是__________．

(3)已知方程$x^2+(2-a)x+1=0$的解集为$A$，且$A\cap(-\infty,0]=\varnothing$，则实数$a$的取值范围是_______．

答案　(1)$\left({-\infty,4} \right]$ ；注意$B$为空集的情形；

(2)$(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[2,+\infty)$；当$a=0$时，$B$为空集；

(3)$(0,+\infty)$；方程可能没有根，也可能只有正根．