切线方程与切点弦方程

解析几何中经常用到圆上一点的切线方程，过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程（当$y_0\ne 0$时）为

$$y-y_0=-\dfrac {x_0}{y_0}(x-x_0),$$ 于是有 $$x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2=r^2.$$ 对$y_0=0$也成立，于是有以下结论：

结论一　过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程为

$$x_0x+y_0y=r^2.$$ 结论二　过圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程为 $$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.$$ 通过平移很容易证明结论二，直接证明也不困难，略去．直接利用这个结论可以快速得到圆上一点的切线方程．

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例题一　(1)经过点$(4,6)$与圆$(x-1)^2+(y-2)^2=25$相切的直线方程为_________；
(2)若直线$ax+by=1$（$a,b$为常数）与圆$O:x^2+y^2=1$相切，则切点坐标为_____（用$a,b$表示）．

分析与解　(1)因为点$(4,6)$在圆上，所以所求切线方程为

$$(4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25,$$ 整理得$3x+4y-36=0$．

(2)设切点坐标为$(x_0,y_0)$，则切线方程为$x_0x+y_0y=1$，此直线与$ax+by=1$是同一条直线，所以$(x_0,y_0)=(a,b)$．所以结论一也可以反过来用，直线$x_0x+y_0y=r^2$的系数满足$x_0^2+y_0^2=r^2$，则此直线与圆$x^2+y^2=r^2$相切，且切点为$(x_0,y_0)$．

注　以后遇到的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，也有类似结论．

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上面的结论一与结论二只适用于点在圆上的情形，当点$P(x_0,y_0)$为圆$x^2+y^2=r^2$外一点时，直线$l:x_0x+y_0y=r^2$表示的直线有什么含义呢？

设$PA,PB$是圆的两条切线，切点为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则切线$PA,PB$的方程分别为

$$x_1x+y_1y=r^2,x_2x+y_2y=r^2,$$ 而点$P$在这两条切线上，所以有 $$\begin{cases} x_1x_0+y_1y_0=r^2,\\x_2x_0+y_2y_0=r^2,\end{cases}$$ 所以点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$均在直线$x_0x+y_0y=r^2$上，从而知直线$x_0x+y_0y=r^2$即为直线$AB$的方程．弦$AB$称为点$P$对应的切点弦，所以直线$x_0x+y_0y=r^2$称为切点弦（所在的直线）方程．从而有下面的结论：

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结论三　当点$P(x_0,y_0)$为圆$x^2+y^2=r^2$外一点时，则点$P$对应的切点弦方程为

$$x_0x+y_0y=r^2;$$ 结论四　当点$P(x_0,y_0)$为圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$外一点时，则点$P$对应的切点弦方程为 $$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.$$ 有了这个结论，下面的问题我们可以直接写出方程，避免了大量计算：

过点$(3,1)$作圆$(x-1)^2+y^2=1$的两条切线，$A,B$为切点，求$AB$的方程．

解　点$(3,1)$在圆外，故切点弦$AB$的方程为

$$(3-1)(x-1)+(1-0)(y-0)=1,$$ 整理得$2x+y-3=0$．

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例题二　已知圆$O:x^2+y^2=2$，点$P$是直线$l:y=\dfrac 12x-2$上的动点，过点$P$作圆$O$的两条切线$PC,PD$，切点为$C,D$，探究：直线$CD$是否过定点．

分析与解　设点$P(2(m+2),m)$，则点$P$对应的切线弦方程为

$$2(m+2)x+my=2.$$ 将此方程按照$m$整理得 $$(2x+y)m+(4x-2)=0,$$ 故由 $$\begin{cases} 2x+y=0,\\4x-2=0,\end{cases}$$ 得直线$CD$过定点$\left(\dfrac 12,-1\right )$．

最后给出两道练习：

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练习一　经过点$(3,4)$与圆$x^2+y^2=25$相切的直线方程为____________．

答案　$3x+4y=25$

练习二　设过点$M(4,2)$的圆$O:x^2+y^2=10$的切线$MA,MB$与圆切于点$A,B$，求$\triangle AOB$的面积（其中$O$为坐标原点）．

答案　$5$

提示　$AB$的方程为$2x+y=5$，故$O$到$AB$的距离$d=\sqrt 5$，从而

$$AB=2\sqrt{10-5}=2\sqrt 5,S=\dfrac 12\cdot AB\cdot d=5.$$