解析几何中经常用到圆上一点的切线方程,过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程(当y0≠0时)为y−y0=−x0y0(x−x0),于是有x0x+y0y=x20+y20=r2.对y0=0也成立,于是有以下结论:
结论一 过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.结论二 过圆(x−a)2+(y−b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.通过平移很容易证明结论二,直接证明也不困难,略去.直接利用这个结论可以快速得到圆上一点的切线方程.
例题一 (1)经过点(4,6)与圆(x−1)2+(y−2)2=25相切的直线方程为_________;
(2)若直线ax+by=1(a,b为常数)与圆O:x2+y2=1相切,则切点坐标为_____(用a,b表示).
分析与解 (1)因为点(4,6)在圆上,所以所求切线方程为(4−1)(x−1)+(6−2)(y−2)=25,整理得3x+4y−36=0.
(2)设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为x0x+y0y=1,此直线与ax+by=1是同一条直线,所以(x0,y0)=(a,b).所以结论一也可以反过来用,直线x0x+y0y=r2的系数满足x20+y20=r2,则此直线与圆x2+y2=r2相切,且切点为(x0,y0).
注 以后遇到的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,也有类似结论.
上面的结论一与结论二只适用于点在圆上的情形,当点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点时,直线l:x0x+y0y=r2表示的直线有什么含义呢?
设PA,PB是圆的两条切线,切点为A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的方程分别为x1x+y1y=r2,x2x+y2y=r2,而点P在这两条切线上,所以有{x1x0+y1y0=r2,x2x0+y2y0=r2,所以点A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线x0x+y0y=r2上,从而知直线x0x+y0y=r2即为直线AB的方程.弦AB称为点P对应的切点弦,所以直线x0x+y0y=r2称为切点弦(所在的直线)方程.从而有下面的结论:
结论三 当点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点时,则点P对应的切点弦方程为x0x+y0y=r2;结论四 当点P(x0,y0)为圆(x−a)2+(y−b)2=r2外一点时,则点P对应的切点弦方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.有了这个结论,下面的问题我们可以直接写出方程,避免了大量计算:
过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,求AB的方程.
解 点(3,1)在圆外,故切点弦AB的方程为(3−1)(x−1)+(1−0)(y−0)=1,整理得2x+y−3=0.
例题二 已知圆O:x2+y2=2,点P是直线l:y=12x−2上的动点,过点P作圆O的两条切线PC,PD,切点为C,D,探究:直线CD是否过定点.
分析与解 设点P(2(m+2),m),则点P对应的切线弦方程为2(m+2)x+my=2.将此方程按照m整理得(2x+y)m+(4x−2)=0,故由{2x+y=0,4x−2=0,得直线CD过定点(12,−1).
最后给出两道练习:
练习一 经过点(3,4)与圆x2+y2=25相切的直线方程为____________.
答案 3x+4y=25
练习二 设过点M(4,2)的圆O:x2+y2=10的切线MA,MB与圆切于点A,B,求△AOB的面积(其中O为坐标原点).
答案 5
提示 AB的方程为2x+y=5,故O到AB的距离d=√5,从而AB=2√10−5=2√5,S=12⋅AB⋅d=5.