对数有非常好的运算性质，比如lnxα=α⋅lnx,x>0.借助于对数的一些运算性质，我们遇到与对数函数相关的复杂函数时，有时可以先通过换元对函数进行简化，本文就结合例题看看与lnx相关的问题中换元法的强大．
在必修一中函数的增长速度一节，我们研究过函数的增长速度，知道在x趋于正无穷时，底数大于1的对数函数的增长速度远远小于多项式函数的增长速度，而多项式函数的增长速度远远小于底数大于1的指数函数的增长速度．在这当时是基于直观印象得到的，示意图如下：
在学习导数后，我们知道这意味着：x→+∞,lnxx→0.虽然目前高中没有严格的极限的知识，但对于这些与lnx相关的函数，在某些极限状态下的趋势，我们还是需要有一个基本的了解．
要研究这些极限，就需要利用对数的运算性质，适当的换元：
例题一 证明：limx→+∞lnxx=0．
分析与证明 首先我们容易证明lnx⩽（这也是对数函数中最常见的不等式，由y=\ln x的图象与它在(1,0)处的切线的位置关系很容易得到结论，下一篇会重点讲对数函数放缩的一些应用．）
于是有\begin{split} \lim_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=&\lim_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x^2}{x^2}}\\=&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2\ln x}{x^2}}\\\leqslant&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2(x-1)}{x^2}}\\=&0.\end{split} 又因为\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}\geqslant 0，所以有\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=0．
令t=\dfrac 1x，我们可以得到\lim_{x\to 0+}{x\ln x}=0.
令t=\ln x，我们可以得到\lim_{x\to +\infty}\dfrac {x}{\mathrm e^x}=0.
类似地，我们可以证明，对于任意的\alpha>0，有\lim_{x\to+\infty}\dfrac {\ln x}{x^\alpha}=0.
例题二 已知f(x)=\ln(x+1)+\sqrt{x+1}-1，证明：当0<x<2时，恒有f(x)<\dfrac {9x}{x+6}．
分析与证明 欲证明结论为当0<x<2时，有\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1<\dfrac{9x}{x+6},令t=\sqrt{x+1}，其中t\in\left(1,\sqrt 3\right)，则只需要证明2\ln t+t-1<\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5},令\begin{split} g(t)=&2\ln t+t-1-\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5}\\=&2\ln t+t+\dfrac {54}{t^2+5}-10,t\in [1,\sqrt 3],\end{split} 则g(1)=0，对g(t)求导得g'(t)=\dfrac 2t+1-\dfrac {108t}{(t^2+5)^2},因为g'(1)=0，故导函数可以整理为g'(t)=\dfrac {(t-1)(t^4+3t^3+13t^2-75t-50)}{t(t^2+5)^2},而1\leqslant t<2，故t^4+3t^3+13t^2-75t-50<2^4+3\cdot 2^3+13\cdot 2^2-75-50<0.从而知g(t)在(1,\sqrt 3)上单调递减，故g(t)<g(1)=0，命题得证．
注 本题中换元后可以对对数函数进行放缩，利用我们熟知的\forall t>1,\ln t<t-1，就可以绕过之后的求导运算，大大简化解法，见2012辽宁理科压轴题的简题．对对数函数的放缩是处理\ln x的终极大招，何时对对数函数进行放缩，有哪些常用的放缩相关的不等式，见下周二“\ln x三板斧之毁尸灭迹”．
最后给出两道练习：
练习一 证明：当x>0时，有\ln (x+1)<\dfrac {x}{\sqrt {x+1}}．
提示 令t=\sqrt {x+1}，则命题等价于证明\forall t>1,2\ln t-t+\dfrac 1t<0.
练习二 已知f(x)=4x\ln x+\dfrac 1x，证明：f(x)\geqslant 3x-2．
提示 首先清君侧得到要证结论为\forall x>0,4\ln x+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac 2x-3\geqslant 0.再换元令t=\dfrac 1x>0，所证结论为\forall t>0,t^2+2t-3-4\ln t\geqslant 0.对左边对应的函数求导即可．