对数函数三板斧之偷天换日

对数有非常好的运算性质，比如 $$\ln x^{\alpha}=\alpha\cdot \ln x,x>0.$$ 借助于对数的一些运算性质，我们遇到与对数函数相关的复杂函数时，有时可以先通过换元对函数进行简化，本文就结合例题看看与$\ln x$相关的问题中换元法的强大．

在必修一中函数的增长速度一节，我们研究过函数的增长速度，知道在$x$趋于正无穷时，底数大于$1$的对数函数的增长速度远远小于多项式函数的增长速度，而多项式函数的增长速度远远小于底数大于$1$的指数函数的增长速度．在这当时是基于直观印象得到的，示意图如下：

在学习导数后，我们知道这意味着： $$x\to +\infty,\dfrac {\ln x}{x}\to 0.$$ 虽然目前高中没有严格的极限的知识，但对于这些与$\ln x$相关的函数，在某些极限状态下的趋势，我们还是需要有一个基本的了解．

要研究这些极限，就需要利用对数的运算性质，适当的换元：

例题一　证明：$\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=0$．

分析与证明　首先我们容易证明 $$\ln x\leqslant x-1.$$ （这也是对数函数中最常见的不等式，由$y=\ln x$的图象与它在$(1,0)$处的切线的位置关系很容易得到结论，下一篇会重点讲对数函数放缩的一些应用．）

于是有 $$\begin{split} \lim_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=&\lim_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x^2}{x^2}}\\=&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2\ln x}{x^2}}\\\leqslant&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2(x-1)}{x^2}}\\=&0.\end{split}$$ 又因为$\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}\geqslant 0$，所以有$\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=0$．

令$t=\dfrac 1x$，我们可以得到 $$\lim_{x\to 0+}{x\ln x}=0.$$

令$t=\ln x$，我们可以得到 $$\lim_{x\to +\infty}\dfrac {x}{\mathrm e^x}=0.$$

类似地，我们可以证明，对于任意的$\alpha>0$，有 $$\lim_{x\to+\infty}\dfrac {\ln x}{x^\alpha}=0.$$

例题二　已知$f(x)=\ln(x+1)+\sqrt{x+1}-1$，证明：当$0<x<2$时，恒有$f(x)<\dfrac {9x}{x+6}$．

分析与证明　欲证明结论为当$0<x<2$时，有 $$\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1<\dfrac{9x}{x+6},$$ 令$t=\sqrt{x+1}$，其中$t\in\left(1,\sqrt 3\right)$，则只需要证明 $$2\ln t+t-1<\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5},$$ 令 $$\begin{split} g(t)=&2\ln t+t-1-\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5}\\=&2\ln t+t+\dfrac {54}{t^2+5}-10,t\in [1,\sqrt 3],\end{split}$$ 则$g(1)=0$，对$g(t)$求导得 $$g'(t)=\dfrac 2t+1-\dfrac {108t}{(t^2+5)^2},$$ 因为$g'(1)=0$，故导函数可以整理为 $$g'(t)=\dfrac {(t-1)(t^4+3t^3+13t^2-75t-50)}{t(t^2+5)^2},$$ 而$1\leqslant t<2$，故 $$t^4+3t^3+13t^2-75t-50<2^4+3\cdot 2^3+13\cdot 2^2-75-50<0.$$ 从而知$g(t)$在$(1,\sqrt 3)$上单调递减，故$g(t)<g(1)=0$，命题得证．

注　本题中换元后可以对对数函数进行放缩，利用我们熟知的$\forall t>1,\ln t<t-1$，就可以绕过之后的求导运算，大大简化解法，见2012辽宁理科压轴题的简题．对对数函数的放缩是处理$\ln x$的终极大招，何时对对数函数进行放缩，有哪些常用的放缩相关的不等式，见下周二“$\ln x$三板斧之毁尸灭迹”．

最后给出两道练习：

练习一　证明：当$x>0$时，有$\ln (x+1)<\dfrac {x}{\sqrt {x+1}}$．

提示　令$t=\sqrt {x+1}$，则命题等价于证明 $$\forall t>1,2\ln t-t+\dfrac 1t<0.$$

练习二　已知$f(x)=4x\ln x+\dfrac 1x$，证明：$f(x)\geqslant 3x-2$．

提示　首先清君侧得到要证结论为 $$\forall x>0,4\ln x+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac 2x-3\geqslant 0.$$ 再换元令$t=\dfrac 1x>0$，所证结论为 $$\forall t>0,t^2+2t-3-4\ln t\geqslant 0.$$ 对左边对应的函数求导即可．