对数有非常好的运算性质,比如$$\ln x^{\alpha}=\alpha\cdot \ln x,x>0.$$借助于对数的一些运算性质,我们遇到与对数函数相关的复杂函数时,有时可以先通过换元对函数进行简化,本文就结合例题看看与$\ln x$相关的问题中换元法的强大.
在必修一中函数的增长速度一节,我们研究过函数的增长速度,知道在$x$趋于正无穷时,底数大于$1$的对数函数的增长速度远远小于多项式函数的增长速度,而多项式函数的增长速度远远小于底数大于$1$的指数函数的增长速度.在这当时是基于直观印象得到的,示意图如下:
在学习导数后,我们知道这意味着:$$x\to +\infty,\dfrac {\ln x}{x}\to 0.$$虽然目前高中没有严格的极限的知识,但对于这些与$\ln x$相关的函数,在某些极限状态下的趋势,我们还是需要有一个基本的了解.
要研究这些极限,就需要利用对数的运算性质,适当的换元:
例题一 证明:$\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=0$.
分析与证明 首先我们容易证明$$\ln x\leqslant x-1.$$(这也是对数函数中最常见的不等式,由$y=\ln x$的图象与它在$(1,0)$处的切线的位置关系很容易得到结论,下一篇会重点讲对数函数放缩的一些应用.)
于是有$$\begin{split} \lim_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=&\lim_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x^2}{x^2}}\\=&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2\ln x}{x^2}}\\\leqslant&\lim_{x\to +\infty}{\dfrac {2(x-1)}{x^2}}\\=&0.\end{split} $$又因为$\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}\geqslant 0$,所以有$\lim\limits_{x\to+\infty}{\dfrac {\ln x}{x}}=0$.
令$t=\dfrac 1x$,我们可以得到$$\lim_{x\to 0+}{x\ln x}=0.$$
令$t=\ln x$,我们可以得到$$\lim_{x\to +\infty}\dfrac {x}{\mathrm e^x}=0.$$
类似地,我们可以证明,对于任意的$\alpha>0$,有$$\lim_{x\to+\infty}\dfrac {\ln x}{x^\alpha}=0.$$
例题二 已知$f(x)=\ln(x+1)+\sqrt{x+1}-1$,证明:当$0<x<2$时,恒有$f(x)<\dfrac {9x}{x+6}$.
分析与证明 欲证明结论为当\(0<x<2\)时,有\[\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1<\dfrac{9x}{x+6},\]令\(t=\sqrt{x+1}\),其中\(t\in\left(1,\sqrt 3\right)\),则只需要证明\[2\ln t+t-1<\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5},\]令$$\begin{split} g(t)=&2\ln t+t-1-\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5}\\=&2\ln t+t+\dfrac {54}{t^2+5}-10,t\in [1,\sqrt 3],\end{split} $$则$g(1)=0$,对$g(t)$求导得$$g'(t)=\dfrac 2t+1-\dfrac {108t}{(t^2+5)^2},$$因为$g'(1)=0$,故导函数可以整理为$$g'(t)=\dfrac {(t-1)(t^4+3t^3+13t^2-75t-50)}{t(t^2+5)^2},$$而$1\leqslant t<2$,故$$t^4+3t^3+13t^2-75t-50<2^4+3\cdot 2^3+13\cdot 2^2-75-50<0.$$从而知$g(t)$在$(1,\sqrt 3)$上单调递减,故$g(t)<g(1)=0$,命题得证.
注 本题中换元后可以对对数函数进行放缩,利用我们熟知的\(\forall t>1,\ln t<t-1\),就可以绕过之后的求导运算,大大简化解法,见2012辽宁理科压轴题的简题.对对数函数的放缩是处理$\ln x$的终极大招,何时对对数函数进行放缩,有哪些常用的放缩相关的不等式,见下周二“$\ln x$三板斧之毁尸灭迹”.
最后给出两道练习:
练习一 证明:当$x>0$时,有$\ln (x+1)<\dfrac {x}{\sqrt {x+1}}$.
提示 令$t=\sqrt {x+1}$,则命题等价于证明$$\forall t>1,2\ln t-t+\dfrac 1t<0.$$
练习二 已知$f(x)=4x\ln x+\dfrac 1x$,证明:$f(x)\geqslant 3x-2$.
提示 首先清君侧得到要证结论为$$\forall x>0,4\ln x+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac 2x-3\geqslant 0.$$再换元令$t=\dfrac 1x>0$,所证结论为$$\forall t>0,t^2+2t-3-4\ln t\geqslant 0.$$对左边对应的函数求导即可.