待定系数法求数列通项公式

待定系数法是数学中一种常用的方法，在我们已经预先知道了形式（根据我们的经验、推理或题目条件），只是不确定系数时使用．比如我们知道一个函数是二次函数，要求它的解析式，就可以设它的解析式为$y=ax^2+bx+c$，去求$a,b,c$的值．这种方法在求函数的解析式、数列的通项公式、曲线的方程时经常使用．比如，已知数列的递推公式为

$$a_{n+1}=3a_n-4,$$ 求数列的通项公式，我们可以通过待定系数法去构造一个等比数列 $$a_{n+1}-\lambda =3(a_n-\lambda ),$$ 解得$\lambda =2$，从而得到数列$\{a_n-2\}$是一个公比为$3$的等比数列（$a_1\ne 2$时）．

对于递推公式

$$a_{n+1}=c\cdot a_n+f(n),$$ 其中$c\ne 1$为常数，$f(n)$是关于$n$的多项式函数或指数函数时，都可以用待定系数法，根据$f(n)$的形式构造一个等比数列$\{a_n-g(n)\}$．

例题一　（1）已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=3a_n+2n-1$，$a_1=1$，求$a_n$．

（2）已知数列$\{b_n\}$的递推公式为$b_{n+1}=3b_n-2n^2+4n+4$，$b_1=1$，求$b_n$．

分析与解　（1）由$2n-1$的形式知，可以令

$$a_{n+1}-[a(n+1)+b]=3[a_n-(an+b)],$$ 于是有 $$a(n+1)+b-3(an+b)=2n-1,$$ 比较系数得 $$a=-1,b=0.$$ 即数列$\{a_n+n\}$是首项为$a_1+1=2$，公比为$3$的等比数列，所以 $$a_n+n=2\cdot 3^{n-1},$$ 从而$a_n=2\cdot 3^{n-1}-n$．

（2）由$-2n^2+4n+4$的形式知，可以令

$$b_{n+1}-[a(n+1)^2+b(n+1)+c]=3[b_n-(an^2+bn+c)],$$ 于是有 $$a(n+1)^2+b(n+1)+c-3(an^2+bn+c)=-2n^2+4n+4,$$ 比较系数得 $$a=1,b=-1,c=-2,$$ 即数列$\{b_n-n^2+n+2\}$是首项为$3$，公比为$3$的等比数列，所以 $$b_n-n^2+n+2=3^n,$$ 从而$b_n=3^n+n^2-n-2$．

例题二　已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=2a_n+3\cdot 5^n$，$a_1=6$，求$a_n$．

分析与解　我们想把$3\cdot 5^n$拆开，以得到一个等比数列，于是令

$$a_{n+1}-\lambda \cdot 5^{n+1}=2(a_n-\lambda \cdot 5^n),$$ 于是有 $$\lambda \cdot 5^{n+1}-2\lambda \cdot 5^n=3\cdot 5^n,$$ 解得$\lambda =1$，即数列$\{a_n-5^n\}$是一个首项为$1$，公比为$2$的等比数列，所以 $$a_n-5^n=1\cdot 2^{n-1},$$ 从而$a_n=5^n+2^{n-1}$．

注　这个类型的递推公式求通项公式还有一个通法是两边同时除以$2^{n+1}$，再用累加法求通项．也可以两边同时除以$5^{n+1}$，再用待定系数法去解决．

最后给出一道练习：

已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=2a_n+n-1$，$a_1=0$，求$a_n$．

答案　$a_n=2^{n-1}-n$．