等差等比求和的省纸法

我们知道,等差数列的前n项和具有Sn=an2+bn的形式,其中a=d2是公差的一半.于是对于一个等差数列来说,我们就可以根据这个形式,再结合首项直接写出和式.比如和式1+5+9++(4n3),

这是一个公差为4的等差数列的前n项和,所以具有2n2+bn的形式,当n=1时,2n2=2,所以b=1,即1+5+9++(4n3)=2n2n.
具体求和中,我们需要注意和式是否为前n项和,有时需要补项或者去项.为了方便,本文中所有的n都是使得和式有意义的整数n,不再作特别说明.

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例题一 求A=7+10+13++(3n2)B=19+17+15++(112n)的值.

分析与解 A不是数列{3n2}的前n项和,我们给它补上1+4后就变成前n项和了.利用首项知1+4+7++(3n2)=32n212n,

于是A=32n212n5

数列{112n}的前n项和为9+7++(112n)=n2+10n,

于是B=n2+10n+75

例题二 已知an=2n13,求{|an|}的前n项和Tn

分析与解 数列{an}的前六项为负,从第七项起为正,记数列{an}的前n项和为Sn,利用和式形式与首项知Sn=n212n

n6时,|an|=an,于是Tn=Sn=n2+12n.

n7时,Tn=Sn+2T6.于是Tn=n212n+72.

对于等比数列的求和,也可以采取同样的方式,等比数列的前n项和一定具有形式a(1qn)q<1)或a(qn1)q>1)(为了方便计算,我们根据q的大小采用不同的和的形式),再通过首项校正得到a的值.如求12+1+2++2n2,

它一定具有a(2n1)的形式,由首项知a=12,即12+1+2++2n2=12(2n1).
再比如1+13+19++(13)n=1+12[1(13)n].

最后给出两道练习,大家可以心算下列和式:

(1)A=3+7+11++(4n5)

(2)B=(32)2+(32)3++(32)n

答案 (1)A=2n23n+1

(2)B=3[(32)n1]32

 本文是通过记住等差数列与等比数列的前n项和的形式,结合首项校正得到的和式,有了这个方法,等差等比数列的求和就可以直接写出结果,省去了稿纸,而且这也会让我们对于和式本身的形式更敏感,如数列的前n项和Sn=n2+n1,则该数列一定不是一个等差数列.

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