我们知道,等差数列的前n项和具有Sn=an2+bn的形式,其中a=d2是公差的一半.于是对于一个等差数列来说,我们就可以根据这个形式,再结合首项直接写出和式.比如和式1+5+9+⋯+(4n−3),
例题一 求A=7+10+13+⋯+(3n−2)和B=19+17+15+⋯+(11−2n)的值.
分析与解 A不是数列{3n−2}的前n项和,我们给它补上1+4后就变成前n项和了.利用首项知1+4+7+⋯+(3n−2)=32n2−12n,
数列{11−2n}的前n项和为9+7+⋯+(11−2n)=−n2+10n,
例题二 已知an=2n−13,求{|an|}的前n项和Tn.
分析与解 数列{an}的前六项为负,从第七项起为正,记数列{an}的前n项和为Sn,利用和式形式与首项知Sn=n2−12n.
当n⩽6时,|an|=−an,于是Tn=−Sn=−n2+12n.
当n⩾7时,Tn=Sn+2T6.于是Tn=n2−12n+72.
对于等比数列的求和,也可以采取同样的方式,等比数列的前n项和一定具有形式a(1−qn)(q<1)或a(qn−1)(q>1)(为了方便计算,我们根据q的大小采用不同的和的形式),再通过首项校正得到a的值.如求12+1+2+⋯+2n−2,
最后给出两道练习,大家可以心算下列和式:
(1)A=3+7+11+⋯+(4n−5);
(2)B=(32)2+(32)3+⋯+(32)n.
答案 (1)A=2n2−3n+1;
(2)B=3[(32)n−1]−32.
注 本文是通过记住等差数列与等比数列的前n项和的形式,结合首项校正得到的和式,有了这个方法,等差等比数列的求和就可以直接写出结果,省去了稿纸,而且这也会让我们对于和式本身的形式更敏感,如数列的前n项和Sn=n2+n−1,则该数列一定不是一个等差数列.