等差等比求和的省纸法

我们知道，等差数列的前$n$项和具有$S_n=an^2+bn$的形式，其中$a=\dfrac d2$是公差的一半．于是对于一个等差数列来说，我们就可以根据这个形式，再结合首项直接写出和式．比如和式 $$1+5+9+\cdots+(4n-3),$$ 这是一个公差为$4$的等差数列的前$n$项和，所以具有$2n^2+bn$的形式，当$n=1$时，$2n^2=2$，所以$b=-1$，即 $$1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^2-n.$$ 具体求和中，我们需要注意和式是否为前$n$项和，有时需要补项或者去项．为了方便，本文中所有的$n$都是使得和式有意义的整数$n$，不再作特别说明．

例题一　求$A=7+10+13+\cdots+(3n-2)$和$B=19+17+15+\cdots+(11-2n)$的值．

分析与解　$A$不是数列$\{3n-2\}$的前$n$项和，我们给它补上$1+4$后就变成前$n$项和了．利用首项知 $$1+4+7+\cdots+(3n-2)=\dfrac 32n^2-\dfrac 12n,$$ 于是$A=\dfrac 32n^2-\dfrac 12n-5$．

数列$\{11-2n\}$的前$n$项和为 $$9+7+\cdots+(11-2n)=-n^2+10n,$$ 于是$B=-n^2+10n+75$．

例题二　已知$a_n=2n-13$，求$\{|a_n|\}$的前$n$项和$T_n$．

分析与解　数列$\{a_n\}$的前六项为负，从第七项起为正，记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，利用和式形式与首项知$S_n=n^2-12n$．

当$n\leqslant 6$时，$|a_n|=-a_n$，于是 $$T_n=-S_n=-n^2+12n.$$

当$n\geqslant 7$时，$T_n=S_n+2T_6$．于是 $$T_n=n^2-12n+72.$$

对于等比数列的求和，也可以采取同样的方式，等比数列的前$n$项和一定具有形式$a(1-q^n)$（$q<1$）或$a(q^n-1)$（$q>1$）（为了方便计算，我们根据$q$的大小采用不同的和的形式），再通过首项校正得到$a$的值．如求 $$\dfrac 12+1+2+\cdots+2^{n-2},$$ 它一定具有$a(2^n-1)$的形式，由首项知$a=\dfrac 12$，即 $$\dfrac 12+1+2+\cdots+2^{n-2}=\dfrac 12(2^n-1).$$ 再比如 $$1+\dfrac 13+\dfrac 19+\cdots+\left(\dfrac 13\right )^n=1+\dfrac 12\left[1-\left(\dfrac 13\right )^n\right ].$$

最后给出两道练习，大家可以心算下列和式：

（1）$A=3+7+11+\cdots+(4n-5)$；

（2）$B=\left(\dfrac 32\right )^2+\left(\dfrac 32\right )^3+\cdots+\left(\dfrac 32\right )^n$．

答案　（1）$A=2n^2-3n+1$；

（2）$B=3\left[\left(\dfrac 32\right )^n-1\right ]-\dfrac 32$．

注　本文是通过记住等差数列与等比数列的前$n$项和的形式，结合首项校正得到的和式，有了这个方法，等差等比数列的求和就可以直接写出结果，省去了稿纸，而且这也会让我们对于和式本身的形式更敏感，如数列的前$n$项和$S_n=n^2+n-1$，则该数列一定不是一个等差数列．