还是熟悉的配方，还是原来的味道

配方是代数变形的重要手段，尤其在不等式问题中更是如此．配方法是初中就已经学习，并且非常熟练掌握的方法，我们今天再来品味一下熟悉的味道．

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配方一    主元配方法

例题1、已知点$P$为曲线$xy-\dfrac 52x-2y+3=0$上一点，则$x^2+y^2$的最小值为_______．

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解    对$x^2+y^2$配合已知条件进行配方

$$\begin{split}x^2+y^2&=x^2+y^2+xy-\frac 52x-2y+3\\&=\underbrace{x^2+\left(y-\frac 52\right)x}_{x}+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2-\left(\frac 12y-\frac 54\right)^2+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\underbrace{\frac 34y^2-\frac 34y+\frac{23}{16}}_{y}\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\frac 34\left(y-\frac 12\right)^2+\frac 54\end{split}$$ 于是$x^2+y^2$的最小值为$\dfrac 54$，当且仅当$x=1\land y=\dfrac 12$时取得．

上述配方过程中先视$x$为主元进行配方，然后再对$y$进行配方，这种方法称为主元配方法，又称为拉格朗日配方法．

练习1、用拉格朗日配方法证明：

$$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca.$$

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 配方二    参数配方法

例题2、（2014年高考辽宁卷理科数学第16题）对于$c>0$，当非零实数$a,b$满足

$$4a^2-2ab+4b^2-c=0$$ 且使$|2a+b|$最大时，$\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c$的最小值为_______．

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解    根据已知

$$\begin{split}c+\lambda\left(2a+b\right)^2&=\left(4a^2-2ab+4b^2\right)+\lambda\left(4a^2+4ab+b^2\right)\\&=\left(4+4\lambda\right)a^2+\left(4\lambda-2\right)ab+\left(4+\lambda\right)b^2,\end{split}$$ 为了使得右边为完全平方式，其判别式 $$\Delta=\left(4\lambda-2\right)^2-4\cdot\left(4+4\lambda\right)\left(4+\lambda\right)=0,$$ 解得 $$\lambda=-\frac 58.$$

这样我们就有

$$c-\frac 58\left(2a+b\right)^2=\frac 32\left(a-\frac 32b\right)^2.$$

因此当$|2a+b|$取最大值时，$a=\dfrac 32b$，进而$c=10b^2$．代入欲求最小值的式子中，有

$$\frac 3a-\frac 4b+\frac 5c=\frac 12\cdot\left(\frac 1b\right)^2-2\cdot\left(\frac 1b\right)\geqslant -2,$$ 等号当且仅当$\dfrac 1b=2$时取得．

上述配方过程中，为了达到配凑完全平方式的目的，我们引入了参数$\lambda$，并利用了二次式的判别式辅助配方．

练习2、设$x,y\in\mathcal R$，若$4x^2+y^2+xy=1$，则$2x+y$的最大值是_______．（$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$）

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注    判别式可以辅助配方，也可以单独使用．比如上面的练习2有基于判别式的以下解法：

令$t=2x+y$，则$y=t-2x$，代入条件中有

$$4x^2+\left(t-2x\right)^2+x\left(t-2x\right)=1,$$ 即 $$6x^2-3tx+t^2-1=0,$$ 其判别式 $$\Delta=9t^2-24\left(t^2-1\right)\geqslant 0,$$ 解得 $$-\frac{2\sqrt{10}}5\leqslant t\leqslant\frac{2\sqrt{10}}5.$$

经验证，等号可以取得，因此$2x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

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 练习3、（练习1的推广）用判别式法证明嵌入不等式：

$$x^2+y^2+z^2\geqslant 2xy\cdot\cos C+2yz\cdot\cos A+2zx\cdot\cos B,$$ 其中$A,B,C$为某个三角形的三个内角．