仿射变换（二）—仿射变换在解题中的应用

仿射变换在解决与椭圆相关的面积问题，特别是面积的最值问题，以及对某些几何的转化中有很好的应用，有时可以大大地简化计算，或将一些题目中隐藏的“平凡”的条件转化成对解题很有利的“特殊”条件． 在仿射变换（一）—什么是仿射变换中，我们已经知道，对椭圆\[\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\]应用仿射变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac bay',\end{cases} \]可以将椭圆变成圆\[x'^2+y'^2=a^2.\]变换前后常用量的对应关系如下： 1．变换前的点\(P(x_0,y_0)\)变成\[P'\left(x_0,\dfrac aby_0\right);\]2．变换前直线的斜率\(k\)变成\[k'=\dfrac ab\cdot k;\]3．变换前的面积\(S=\dfrac 12\Delta x\cdot\Delta y\)变成\[S'=\dfrac 12\Delta x'\cdot\Delta y'=\dfrac ab\cdot S;\]4．变换前的弦长\(l=\sqrt{1+k^2}\cdot \Delta x\)变成\[\begin{split} l'&=\sqrt{1+k'^2}\cdot \Delta x'\\&=\sqrt{1+\dfrac {a^2}{b^2}\cdot k^2}\cdot \Delta x\\&=\dfrac{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\cdot k^2}}{\sqrt{1+k^2}}\cdot l.\end{split} \]下面我们通过例题来看仿射变换在解析几何问题中的几个应用：

一、用仿射变换处理面积相关的问题 利用仿射变换可以将椭圆内接三角形变成圆内接三角形，它们的面积之间存在固定的比例关系，而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．

例1　已知直线\(l\)：\(y=kx+m\)交椭圆\(\dfrac {x^2}{3}+y^2=1\)于不同的两点\(A,B\)．若坐标原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\(\dfrac {\sqrt 3}{2}\)，求\(\triangle AOB\)面积的最大值．

解　坐标原点到直线\(l\)的距离为\(\dfrac {\sqrt 3}{2}\)，于是直线\(l\)是圆\(x^2+y^2=\dfrac 34\)的切线． 作仿射变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{y'}{\sqrt 3}.\end{cases} \]则直线\(l'\)是椭圆\[x'^2+\dfrac {y'^2}{3}=\dfrac 34\]的切线．如图： 设\(O'\)到直线\(l'\)的距离为\(d\)，因为直线\(l\)的斜率存在，所以\[\dfrac 34<d^2\leqslant \dfrac 94.\]于是\[\begin{split} S_{\triangle AOB}&=\dfrac {1}{\sqrt 3}S_{\triangle A'O'B'}\\&=\dfrac 1{\sqrt 3}\cdot \dfrac 12\cdot 2\sqrt{3-d^2}\cdot d\\&=\dfrac {1}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{d^2(3-d^2)}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{2},\end{split} \]等号当且仅当\(d^2=\dfrac 32\)时取得． 因此\(\triangle AOB\)面积的最大值为\(\dfrac {\sqrt 3}{2}\)．

二、利用仿射变换转化条件或结论 利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如： ①利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化成矩形，达到简化问题的目的； ②利用仿射变换可以将椭圆变成圆，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，达到简化问题的目的．

例2　（2011年高考数学重庆卷）已知椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac {y^2}{2}=1\)． （理科）设动点\(P\)满足：\(\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {ON}\)，其中\(M,N\)是椭圆上的点，直线\(OM\)与\(ON\)的斜率之积为\(-\dfrac 12\)，问：是否存在两个点\(F_1,F_2\)，使得\(\left|PF_1\right |+\left|PF_2\right |\)为定值？若存在，求\(F_1,F_2\)的坐标；若不存在，说明理由． （文科）设动点\(P\)满足：\(\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {ON}\)，其中\(M,N\)是椭圆上的点，直线\(OM\)与\(ON\)的斜率之积为\(-\dfrac 12\)，问：是否存在两个点\(F\)，使得点\(P\)到点\(F\)的距离与到直线\(x=2\sqrt{10}\)的距离之比为定值？若存在，求\(F\)的坐标；若不存在，说明理由．

解　作仿射变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{y'}{\sqrt 2},\end{cases} \] 将椭圆方程变为\[x'^2+y'^2=4,\]于是有\[k_{OM'}\cdot k_{ON'}=\sqrt{2}k_{OM}\cdot \sqrt{2}k_{ON}=-1,\]所以\[OM'\perp ON'.\]（理科）所以平行四边形\(OM'P'N'\)为正方形，如图： 于是\[\left|OP'\right |=\left|M'N'\right |=2\sqrt 2.\]所以\(P'\)点的轨迹方程为圆\[x'^2+y'^2=8.\]因此\(P\)点的轨迹方程为\[x^2+(\sqrt 2y)^2=8,\]即\[\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1.\]所以存在符合题意的点\(F_1,F_2\)，坐标为\((\pm 2,0)\)（即椭圆的两个焦点）． （文科）四边形\(OM'P'N'\)为矩形，于是\[\left|OP'\right |=\left|M'N'\right |,\]所以\(P'\)点的轨迹方程为圆\[x'^2+y'^2=20.\]因此\(P\)点的轨迹方程为\[x^2+(\sqrt 2y)^2=20,\]即\[\dfrac{x^2}{20}+\dfrac {y^2}{10}=1.\]所在存在符合题意的点\(F\)，坐标为\(\left(\sqrt {10},0\right )\)（即椭圆的右焦点）．

例3　（2011年北京市海淀区高考一模）设直线\(y=kx+m\)（\(|k|\leqslant \dfrac 12\)）与椭圆\(\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1\)相交于\(A,B\)两点，以线段\(OA,OB\)为邻边作平行四边形\(OAPB\)，其中顶点\(P\)在椭圆\(C\)上，\(O\)为坐标原点，求\(|OP|\)的取值范围．

解　用仿射变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac {\sqrt 3}{2}y',\end{cases} \]将椭圆转化成圆\[x'^2+y'^2=4.\]于是平行四边形\(OAPB\)变成菱形\(OA'P'B'\)． 由\(\left|k_{AB}\right |\leqslant \dfrac 12\)得\[\left|k_{A'B'}\right |\leqslant \dfrac {1}{\sqrt 3}.\]根据菱形的对角线互相垂直得\[\left|k_{OP'}\right |\geqslant \sqrt{3}.\]因此\[\left|x_{P'}\right |\leqslant 1.\]也就是说\[\left|x_{P}\right|=\left|x_{P'}\right |\leqslant 1.\]于是\[\begin{split} \left|OP\right|^2&=x_P^2+y_P^2\\&=x_P^2+3\left(1-\dfrac {x_P^2}{4}\right )\\&=\dfrac{x_P^2}{4}+3\in\left[3,\dfrac{13}{4}\right]. \end{split} \]因此\(\left|OP\right|\)的取值范围是\[\left[\sqrt 3,\dfrac{\sqrt{13}}{2}\right].\] 最后给出一组练习．

练习1　已知椭圆\(\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1\)中有一内接三角形\(ABC\)，其顶点\(C\)的坐标为\(\left(\sqrt 3,1\right)\)，\(AB\)所在直线的斜率为\(\dfrac {\sqrt 3}{3}\)．当\(\triangle ABC\)的面积最大时，求直线\(AB\)的方程． 练习2　（2012年北京市海淀区高考一模）已知直线\(l_1\)：\(y=kx+m_1\)与椭圆\(G\)：\(\dfrac {x^2}{2}+y^2=1\)交于\(A,B\)两点，直线\(l_2\)：\(y=kx+m_2\)（\(m_1\neq m_2\)）与椭圆\(G\)交于\(C,D\)两点，且\(|AB|=|CD|\)，如图所示． （1）证明：\(m_1+m_2=0\)； （2）求四边形\(ABCD\)的面积\(S\)的最大值．

参考答案 练习1　\(x-\sqrt 3y\pm \sqrt 6=0\)． 提示　注意到\(OC\parallel AB\)，可以将\(\triangle ABC\)的面积转化成\(\triangle OAB\)的面积），仿射变换后去求\(\triangle OA'B'\)的面积的最大值，如图： 练习2　（1）略；（2）\(2\sqrt 2\)． 提示　椭圆的内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．

更多例题与练习参见每日一题[187]垂径定理与仿射变换、每日一题[162]参数方程与仿射变换．