仿射变换（二）—仿射变换在解题中的应用

仿射变换在解决与椭圆相关的面积问题，特别是面积的最值问题，以及对某些几何的转化中有很好的应用，有时可以大大地简化计算，或将一些题目中隐藏的“平凡”的条件转化成对解题很有利的“特殊”条件． 在仿射变换（一）—什么是仿射变换中，我们已经知道，对椭圆 $$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$$ 应用仿射变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac bay',\end{cases}$$ 可以将椭圆变成圆 $$x'^2+y'^2=a^2.$$ 变换前后常用量的对应关系如下： 1．变换前的点$P(x_0,y_0)$变成 $$P'\left(x_0,\dfrac aby_0\right);$$ 2．变换前直线的斜率$k$变成 $$k'=\dfrac ab\cdot k;$$ 3．变换前的面积$S=\dfrac 12\Delta x\cdot\Delta y$变成 $$S'=\dfrac 12\Delta x'\cdot\Delta y'=\dfrac ab\cdot S;$$ 4．变换前的弦长$l=\sqrt{1+k^2}\cdot \Delta x$变成 $$\begin{split} l'&=\sqrt{1+k'^2}\cdot \Delta x'\\&=\sqrt{1+\dfrac {a^2}{b^2}\cdot k^2}\cdot \Delta x\\&=\dfrac{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\cdot k^2}}{\sqrt{1+k^2}}\cdot l.\end{split}$$ 下面我们通过例题来看仿射变换在解析几何问题中的几个应用：

一、用仿射变换处理面积相关的问题 利用仿射变换可以将椭圆内接三角形变成圆内接三角形，它们的面积之间存在固定的比例关系，而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．

例1　已知直线$l$：$y=kx+m$交椭圆$\dfrac {x^2}{3}+y^2=1$于不同的两点$A,B$．若坐标原点$O$到直线$l$的距离为$\dfrac {\sqrt 3}{2}$，求$\triangle AOB$面积的最大值．

解　坐标原点到直线$l$的距离为$\dfrac {\sqrt 3}{2}$，于是直线$l$是圆$x^2+y^2=\dfrac 34$的切线． 作仿射变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{y'}{\sqrt 3}.\end{cases}$$ 则直线$l'$是椭圆 $$x'^2+\dfrac {y'^2}{3}=\dfrac 34$$ 的切线．如图： 设$O'$到直线$l'$的距离为$d$，因为直线$l$的斜率存在，所以 $$\dfrac 34<d^2\leqslant \dfrac 94.$$ 于是 $$\begin{split} S_{\triangle AOB}&=\dfrac {1}{\sqrt 3}S_{\triangle A'O'B'}\\&=\dfrac 1{\sqrt 3}\cdot \dfrac 12\cdot 2\sqrt{3-d^2}\cdot d\\&=\dfrac {1}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{d^2(3-d^2)}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{2},\end{split}$$ 等号当且仅当$d^2=\dfrac 32$时取得． 因此$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac {\sqrt 3}{2}$．

二、利用仿射变换转化条件或结论 利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如： ①利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化成矩形，达到简化问题的目的； ②利用仿射变换可以将椭圆变成圆，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，达到简化问题的目的．

例2　（2011年高考数学重庆卷）已知椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac {y^2}{2}=1$． （理科）设动点$P$满足：$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {ON}$，其中$M,N$是椭圆上的点，直线$OM$与$ON$的斜率之积为$-\dfrac 12$，问：是否存在两个点$F_1,F_2$，使得$\left|PF_1\right |+\left|PF_2\right |$为定值？若存在，求$F_1,F_2$的坐标；若不存在，说明理由． （文科）设动点$P$满足：$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {ON}$，其中$M,N$是椭圆上的点，直线$OM$与$ON$的斜率之积为$-\dfrac 12$，问：是否存在两个点$F$，使得点$P$到点$F$的距离与到直线$x=2\sqrt{10}$的距离之比为定值？若存在，求$F$的坐标；若不存在，说明理由．

解　作仿射变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{y'}{\sqrt 2},\end{cases}$$ 将椭圆方程变为 $$x'^2+y'^2=4,$$ 于是有 $$k_{OM'}\cdot k_{ON'}=\sqrt{2}k_{OM}\cdot \sqrt{2}k_{ON}=-1,$$ 所以 $$OM'\perp ON'.$$ （理科）所以平行四边形$OM'P'N'$为正方形，如图： 于是 $$\left|OP'\right |=\left|M'N'\right |=2\sqrt 2.$$ 所以$P'$点的轨迹方程为圆 $$x'^2+y'^2=8.$$ 因此$P$点的轨迹方程为 $$x^2+(\sqrt 2y)^2=8,$$ 即 $$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1.$$ 所以存在符合题意的点$F_1,F_2$，坐标为$(\pm 2,0)$（即椭圆的两个焦点）． （文科）四边形$OM'P'N'$为矩形，于是 $$\left|OP'\right |=\left|M'N'\right |,$$ 所以$P'$点的轨迹方程为圆 $$x'^2+y'^2=20.$$ 因此$P$点的轨迹方程为 $$x^2+(\sqrt 2y)^2=20,$$ 即 $$\dfrac{x^2}{20}+\dfrac {y^2}{10}=1.$$ 所在存在符合题意的点$F$，坐标为$\left(\sqrt {10},0\right )$（即椭圆的右焦点）．

例3　（2011年北京市海淀区高考一模）设直线$y=kx+m$（$|k|\leqslant \dfrac 12$）与椭圆$\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$相交于$A,B$两点，以线段$OA,OB$为邻边作平行四边形$OAPB$，其中顶点$P$在椭圆$C$上，$O$为坐标原点，求$|OP|$的取值范围．

解　用仿射变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac {\sqrt 3}{2}y',\end{cases}$$ 将椭圆转化成圆 $$x'^2+y'^2=4.$$ 于是平行四边形$OAPB$变成菱形$OA'P'B'$． 由$\left|k_{AB}\right |\leqslant \dfrac 12$得 $$\left|k_{A'B'}\right |\leqslant \dfrac {1}{\sqrt 3}.$$ 根据菱形的对角线互相垂直得 $$\left|k_{OP'}\right |\geqslant \sqrt{3}.$$ 因此 $$\left|x_{P'}\right |\leqslant 1.$$ 也就是说 $$\left|x_{P}\right|=\left|x_{P'}\right |\leqslant 1.$$ 于是 $$\begin{split} \left|OP\right|^2&=x_P^2+y_P^2\\&=x_P^2+3\left(1-\dfrac {x_P^2}{4}\right )\\&=\dfrac{x_P^2}{4}+3\in\left[3,\dfrac{13}{4}\right]. \end{split}$$ 因此$\left|OP\right|$的取值范围是 $$\left[\sqrt 3,\dfrac{\sqrt{13}}{2}\right].$$ 最后给出一组练习．

练习1　已知椭圆$\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1$中有一内接三角形$ABC$，其顶点$C$的坐标为$\left(\sqrt 3,1\right)$，$AB$所在直线的斜率为$\dfrac {\sqrt 3}{3}$．当$\triangle ABC$的面积最大时，求直线$AB$的方程． 练习2　（2012年北京市海淀区高考一模）已知直线$l_1$：$y=kx+m_1$与椭圆$G$：$\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$交于$A,B$两点，直线$l_2$：$y=kx+m_2$（$m_1\neq m_2$）与椭圆$G$交于$C,D$两点，且$|AB|=|CD|$，如图所示． （1）证明：$m_1+m_2=0$； （2）求四边形$ABCD$的面积$S$的最大值．

参考答案 练习1　$x-\sqrt 3y\pm \sqrt 6=0$． 提示　注意到$OC\parallel AB$，可以将$\triangle ABC$的面积转化成$\triangle OAB$的面积），仿射变换后去求$\triangle OA'B'$的面积的最大值，如图： 练习2　（1）略；（2）$2\sqrt 2$． 提示　椭圆的内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．

更多例题与练习参见每日一题[187]垂径定理与仿射变换、每日一题[162]参数方程与仿射变换．