题拍拍征解题[33]（已解决）

『28510733』给定正整数 $n\geqslant 2$．求证：存在正整数 $m$ 且 $\left[\dfrac n2\right]\leqslant m\leqslant n-1$，使方程

$$\dfrac{a_m}{m+1}+\dfrac{a_{m+1}}{m+2}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{n}=\dfrac{1}{[1,2,\cdots,n]}$$ 有满足 $a_m>0$ 的整数解 $(a_m,a_{m+1},\cdots,a_{n-1})$．

2021年8月2日，by xixiggg．

当 $n=2$ 时，取 $m=1$，$a_1=1$ 即可． 当 $n\geqslant 3$ 时，取 $m=\left[\dfrac n 2\right]$，则 $[m+1,m+2,\cdots,n]=[1,2,\cdots,n]$．于是

$$\left(\dfrac{1}{m+1}[1,2,\cdots,n],\dfrac{1}{m+2}[1,2,\cdots,n],\cdots,\dfrac{1}{n}[1,2,\cdots,n]\right)=\dfrac{[1,2,\cdots,n]}{[m+1,m+2,\cdots,n]}=1,$$ 从而，由裴蜀定理知存在 $b_m,b_{m+1},\cdots,b_{n-1}\in \mathbb{Z}$ 满足 $$\displaystyle \sum\limits_{u=m+1}^n\dfrac{1}{u}[1,2,\cdots,n]\cdot b_{u-1}=1\iff \displaystyle \sum\limits_{u=m+1}^n\dfrac{b_{u-1}}{u}=\dfrac{1}{[1,2,\cdots,n]}.$$ 取 $t\in \mathbb{N}$ 充分大使 $b_m+(m+1)t>0$，由 $n\geqslant 3$ 知 $n\geqslant m+2$，可得 $$\displaystyle \dfrac{b_m+(m+1)t}{m+1}+\dfrac{b_{m+1}-(m+2)t}{m+2}+\sum\limits_{u=m+3}^n\dfrac{b_{u-1}}{u}=\dfrac{1}{[1,2,\cdots,n]}.$$ 即找到了满足要求的整数解． 综上所述，原命题获证．