题拍拍征解题[32]（已解决）

已知非负实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求函数

$$f(x,y,z)=(xy+yz+zx)\left(\dfrac1{x+1}+\dfrac1{y+1}+\dfrac1{z+1}\right)$$ 的最大值和最小值．

2021年8月2日，by xixiggg．

注意到 $f(x,y,z)$ 为有界闭区间上的连续函数，所以其存在最大值及最小值．固定 $s=x+y$ 及 $z$，则

$$\begin{split}f(x,y,z)&=(xy+yz+zx)\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\\&=(xy+zs)\left(\dfrac{2+s}{1+s+xy}+\dfrac{1}{z+1}\right)\\&=\left((1+s+xy)-(1+s^2)\right)\cdot \left(\dfrac{2+s}{1+s+xy}+\dfrac{1}{z+1}\right)\\&=\dfrac{1}{z+1}\cdot (1+s+xy)-(1+s^2)\cdot \dfrac{2+s}{1+s+xy}+(2+s)-\dfrac{1+s^2}{z+1}.\end{split}$$ 上式关于 $xy$ 单调递增．因此，当 $x+y$ 及 $s$ 固定时，$f$ 关于 $xy$ 单调递增，也即 $|x-y|$ 越小，$f$ 的值越大．对 $y,z$ 与 $z,x$ 同理，于是可知，$f$ 的最大值点为 $\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)$，此时 $f=\dfrac 3 4$，$f$ 的最小值点为 $(1,0,0)_{\rm cyc}$，此时 $f=0$．因此，$f$ 的最大值为 $\dfrac 3 4$，最小值为 $0$．