题拍拍征解问题[28]（已解决）

求证：不存在正整数 $a_1<a_2<a_3$，$b_1>b_2>b_3$，使得

$$2^{a_1}+3^{b_1}=2^{a_2}+3^{b_2}=2^{a_3}+3^{b_3}.$$

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2021年7月1日，by xixiggg：

设 $s=2^a+3^b$，其中 $s,a,b\in \mathbb{N}^{\ast}$．固定 $s$，考虑关于 $a,b$ 的不定方程\[2^a+3^b=s.\]若 $2^a\geqslant 3^b$，则 $\dfrac s 2\leqslant 2^a\leqslant s-1$，因为 $s-1<2\cdot \dfrac s2$，满足该式的 $a$ 至多一个．从而满足 $2^a\geqslant 3^b$ 的不定方程的正整数解 $(a,b)$ 至多一组．
若 $2^a<3^b$，则 $\dfrac s 2\leqslant 3^b\leqslant s-1$，因为 $s-1<3\cdot \dfrac s2$，满足该式的 $b$ 至多一个．从而满足 $2^a<3^b$ 的不定方程的正整数解 $(a,b)$ 至多一组．
因此，不定方程至多有两组正整数解，由此立得原题结论成立．