题拍拍征解问题[24]（已解决）

已知 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0$，求 $$\csc^2\alpha+\csc^2\beta+\csc^2\gamma-2|\csc\alpha\csc\beta\csc\gamma|$$ 的值．

2021年7月1日，by xixiggg：

所求代数式的值为$1$．

设 $a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$，$c=\cos \gamma$，题中代数式为 $m$，则 $a,b,c\in [-1,1]$，且 $$a+b+c+abc=0.$$ 我们先说明：$ab+bc+ca\geqslant -1$．由抽屉原理知，$a+b,a+c,b+c$ 中必有两者同号，不妨设为 $a+b$ 与 $a+c$．于是，我们有 $$ab+bc+ca=(a+c)(b+c)-c^2\geqslant -c^2\geqslant -1.$$ 接着，我们计算所求式子，由于 $$\csc^2 \theta=\dfrac{1}{1-\cos^2 \theta},$$ 所以 $$\begin{split} m&=\csc^2 \alpha+\csc^2 \beta+\csc^2 \gamma-2|\csc \alpha\csc \beta\csc\gamma|\\ &=\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-b^2}+\dfrac{1}{1-c^2}-2\sqrt{\dfrac{1}{1-a^2}\cdot \dfrac{1}{1-b^2}\cdot \dfrac{1}{1-c^2}},\end{split}$$ 设 $u=a+b+c$，$v=ab+bc+ca$，则 $abc=-u$．于是 $$\begin{split} (1-a^2)(a-b^2)(1-c^2)&=1-\sum\limits_{cyc}a^2+\sum\limits_{cyc}a^2b^2-a^2b^2c^2\\ &=1-(u^2-2v)+(v^2-2u\cdot (-u))-(-u)^2\\ &=1+2v+v^2,\end{split}$$ 及 $$\begin{split}\sum\limits_{cyc}(1-a^2)(1-b^2)&=3-2\sum\limits_{cyc}a^2+\sum\limits_{cyc}a^2b^2\\ &=3-2(u^2-2v)+(v^2-2u(-u))\\ &=3+4v+v^2.\end{split}$$ 因此 $$\begin{split} m&=\dfrac{\sum\limits_{cyc}(1-b^2)(1-c^2)}{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)}-2\sqrt{\dfrac{1}{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)}}\\ &=\dfrac{v^2+4v+3}{v^2+2v+1}-\dfrac{2}{v+1}\\ &=1,\end{split}$$ 其中用到 $v\geqslant -1$．