题拍拍征解问题[22](已解决)

给定 $k$($k\in\mathbb N^{\ast}$)种颜色,对每个正整数都用 $k$ 种颜色中的一种进行染色.求证:无论怎么染色,一定存在四个颜色相同的正整数 $a,b,c,d$($a,b,c,d$ 互不相同),满足下面三个条件:① $ad=bc$;② $\dfrac ba=2^m$;③ $\dfrac ca=3^n$;其中 $m, n$ 为正整数.


2021年6月30日,by xixiggg:

考虑如下一些正整数:\[2^a\times 3^b,\quad 0\leqslant a\leqslant k,\quad 0\leqslant b\leqslant \dfrac{k^2(k+1)}{2}.\]首先,对 任意 $b\in \left[0,\dfrac{k^2(k+1)}{2}\right]$,因为 $2^a\times 3^b(0\leqslant a\leqslant k)$ 共 $k+1$ 个数,所以由抽屉原理知其中必有两数颜色相同,设这两个数为 $i_b<j_b$,颜色为第 $c_b$ 个颜色,其中 \[0\leqslant i_b<j_b\leqslant k,\quad 1\leqslant c_b\leqslant k,\]则 $(i_b,j_b,c_b)$ 共有\[\binom{k+1}{2}\cdot k=\dfrac{k^2(k+1)}{2}\]种取值情况.而注意到 $b$ 的个数为\[\dfrac{k^2(k+1)}{2}+1>\dfrac{k^2(k+1)}{2},\]所以由抽屉原理知存在\[0\leqslant b_1<b_2\leqslant \dfrac{k^2(k+1)}{2}\]使 $(i_{b_1},j_{b_1},c_{b_1})=(i_{b_2},j_{b_2},c_{b_2})$.于是,存在\[0\leqslant a_1<a_2\leqslant k,\quad 0\leqslant b_1<b_2\leqslant \dfrac{k^2(k+1)}{2},\quad 1\leqslant c\leqslant k\]使 $2^{a_1}3^{b_1},2^{a_2}3^{b_1},2^{a_1}3^{b_2},2^{a_2}3^{b_2}$ 均为第 $c$ 色.上述四个数满足 ①②③.于是,结论获证.

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