问题征解[26]代数不等式（已解决）

(2006年罗马尼亚国家集训队试题)设$x,y,z>0$且$x+y+z=3$，求证：$x^2+y^2+z^2\leqslant \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$．

2021年5月31日，by xixiggg．

题中不等式即

$$x^2y^2z^2\cdot \sum_{\rm cyc}x^2\leqslant \sum_{\rm cyc}x^2y^2\iff x^2y^2z^2\left(\left(\sum_{\rm cyc}x\right)^2-2\sum_{\rm cyc}xy\right)\leqslant \left(\sum_{\rm cyc}xy\right)^2-2xyz\cdot \sum_{\rm cyc}x,$$ 即 $$x^2y^2z^2\left(9-2\sum_{\rm cyc}xy\right)\leqslant \left(\sum_{\rm cyc}xy\right)^2-6xyz,$$ 即 $$9x^2y^2z^2+6xyz\leqslant \left(\sum_{\rm cyc}xy\right)^2+2x^2y^2z^2\cdot \sum_{\rm cyc}xy,$$ 而 $$\begin{cases} \left(\sum_{\rm cyc}xy\right)^2=\sum_{\rm cyc}x^2y^2+2xyz\sum_{\rm cyc}x\geqslant 9xyz,\\ \sum_{\rm cyc}xy\geqslant 3\sqrt{xyz},\end{cases}$$ 因此只需要证明 $$9\leqslant \dfrac{3}{xyz}+6\sqrt{xyz},$$ 根据均值不等式，该不等式成立．因此原不等式得证．