问题征解[19]解三角形（已解决）

在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高．若$BC+AD=AB+AC$，求$\angle BAC$的取值范围．

解    显然$D$在边$BC$上，否则$AB+AC>BC+AD$，与题意不符．此时可以把$\angle BAC$看成$\angle BAD$和$\angle CAD$的和，分别设$\angle BAD=\alpha$，$\angle CAD=\beta$，$AD=1$，其中$\alpha$，$\beta$均为锐角，那么有 $$\tan\alpha+\tan\beta+1=\dfrac{1}{\cos\alpha}+\dfrac{1}{\cos\beta},$$ 即 $$\dfrac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{1-\sin\beta}{\cos\beta}=1,$$ 设$f(x)=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}$，那么其导函数为 $$f'(x)=\dfrac{\sin x-1}{\cos^2 x},$$ 其二阶导函数为 $$f''(x)=\dfrac{(1-\sin x)^2}{\cos^3 x},$$ 因此函数$f(x)$为单调递减的下凸函数．从而 $$f\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\leqslant \dfrac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}=\dfrac 12.$$ 经计算可得$f\left(\arcsin\dfrac 35\right)=\dfrac 12$，因此 $$\dfrac{\alpha+\beta}2\geqslant \arcsin\dfrac 35,$$ 从而$\angle BAC\geqslant 2\arcsin\dfrac 35$．

另一方面，当$\alpha\to 0$，$\beta\to \dfrac{\pi}2$时，$\angle BAC\to \dfrac{\pi}2$，因此$\angle BAC$的取值范围是$\left[2\arcsin\dfrac 35,\dfrac{\pi}2\right)$．

2016年3月20日，来自Brook．

令$AB+AC=BC+AD=2a$，$BC=2c$，$AD=h$，$\angle BAC=\theta$，则由焦点三角形面积公式可得 $$\left(a^2-c^2\right)\cdot \tan\dfrac{\theta}2=ch=c(2a-2c),$$ 整理得 $$\tan\dfrac{\theta}2=\dfrac{2}{1+\dfrac ac}.$$ 又 $$0<h=2a-2c\leqslant b,$$ 于是 $$(2a-2c)^2\leqslant a^2-c^2,$$ 解得 $$1<\dfrac ac\leqslant \dfrac 53,$$ 从而$\tan\dfrac{\theta}2$的取值范围是$\left[\dfrac 34,1\right)$，从而$\theta$的取值范围是$\left[2\arcsin\dfrac 35,\dfrac{\pi}2\right)$．