征解问题[12] 平面几何

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$\angle ABD=15^\circ$，$BC=BD$，$CD=CE$．求证：三角形$ABC$为等腰直角三角形．

我是用三角方法解的，征求纯平面几何方法．

设$BC=1$，$\angle CBD=2x$，则$CD=2\sin x$．

在三角形$ADC$中应用正弦定理，有 $$\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{CD}{\sin\angle CAD},$$ 于是 $$\frac{AC}{\sin\left(x+90^\circ\right)}=\frac{2\sin x}{\sin\left(90^\circ-3x\right)},$$ 所以 $$AC=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}.$$

在三角形$ABC$中应用正弦定理，有 $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},$$ 于是 $$\frac{AC}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{1}{\sin\left(x+75^\circ\right)},$$ 整理得 $$\frac{\sin 2x}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{\cos 3x}{\sin\left(x+75^\circ\right)}.$$

显然，$0<x<30^\circ$，在此区间左侧单调递增，右侧单调递减（可以由导数证明），因此有唯一实数解$x=15^\circ$．

进而不难得到三角形$ABC$为等腰直角三角形．

我构想的辅助线是这样的：