Math173

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\left(\dfrac{1}{2} x^2+a x+1\right)$．

1、当 $a \leqslant 1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

2、当 $a=0$ 时，证明不等式 $x\big(f(x)+2\big)+1 \geqslant(1+\sin x)^2$ 对任意 $x\geqslant 0$ 恒成立．

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已知 $f(x)=\cos x+m x^2-1$（$x \geqslant 0$）．

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

2、证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$\mathrm{e}^x-2 \geqslant \sin x-\cos x$．

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已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x+m\ln x+1$．

1、当 $m=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线的斜率．

2、若存在 $x_1,x_2\in (0,+\infty)$，且当 $x_1\ne x_2$ 时，$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$\dfrac{x_1x_2}{4m^2}<1$．

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已知函数 $f(x)=2 x-a \ln x+4 a$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、令 $g(x)=f(x)-\sin x$，若存在 $x_1 , x_2 \in(0,+\infty)$，且 $x_1 \neq x_2$ 时，$g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$，证明：$x_1 x_2<a^2$．

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已知函数 $f(x)=x^2-x+k \ln x$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\dfrac{1}{4}-2 k$．

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函数 $f(x)=\ln (x+1)+a x$ 的图象与直线 $y=2 x$ 相切．

1、求 $a$ 的值．

2、证明：对于任意正整数 $n$，有 $$n^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{n}{n+1}}<\frac{(2 n) !}{n !}<n^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{n+1}{3}}.$$

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x^2$．

1、求曲线 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程．

2、求证：当 $x>0$ 时，$\dfrac{\mathrm{e}^x+(2-\mathrm{e}) x-1}{x} \geqslant \ln x+1$．

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已知函数 $f(x)=(x+b)\left(\mathrm{e}^x-a\right)$（$b>0$）在 $(-1, f(-1))$ 处的切线方程为 $(\mathrm{e}-1) x+\mathrm{e} y+\mathrm{e}-1=0$．

1、求 $a, b$．

2、若方程 $f(x)=m$ 有两个实数根 $x_1 , x_2$，且 $x_1<x_2$，证明：$x_2-x_1 \leqslant 1+\dfrac{m(1-2 \mathrm{e})}{1-\mathrm{e}}$．

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已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-m}$，其中 $a , m \in \mathbb{R}$．

1、当 $a=m=1$ 时，设 $g(x)=f(x)-\ln x$，求函数 $g(x)$ 的单调区间．

2、当 $a=4$，$m=2$ 时，证明：$f(x)>x(1+\ln x)$．

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已知 $\mathrm{e}^{x}+(\ln x-a) \sin x\geqslant 0$ 恒成立，则正整数 $a$ 的最大值为_______．

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