Math173

已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ [[nn]]．已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ _______．

继续阅读 →

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $\sin A=\cos B=\tan C$．

1、求 $2 A+C$ 的值．

2、证明：$c>b>\dfrac{2}{5} a$．

继续阅读 →

在 $\triangle A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，$B C$ 边上的高为 $h$，且 $b+c=a+h$．

1、若 $h=\dfrac{2}{3} a$，且 $k \sin A-\cos A=1$，求实数 $k$ 的值．

2、求 $\tan A$ 的最小值．

继续阅读 →

给定直角 $\triangle A B C$，其中 $\angle A C B=90^{\circ}$，$ B C=a$，$A C=b$，点 $D, E, F$ 分别在边 $B C, C A,A B$ 上，使得 $\triangle D E F$ 是正三角形，求 $\triangle D E F$ 面积的最小值．

继续阅读 →

已知 $F_1, F_2$ 分别是双曲线 $C_1: x^2-y^2=2$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线交双曲线右支于 $P, A$ 两点，点 $P$ 在第一象限．

1、求点 $P$ 横坐标的取值范围．

2、线段 $P F_1$ 交圆 $C_2:(x+2)^2+y^2=8$ 于点 $B$，记 $\triangle P F_2 B, \triangle A F_2 F_1, \triangle P A F_1$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S$，求 $\dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}$ 的最小值．

继续阅读 →

已知 $\triangle A B C$ 满足 $2 \sin C \sin (B-A)=2 \sin A \sin C-\sin ^2 B$．

1、试问：角 $B$ 是否可能为直角？请说明理由．

2、若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，求 $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．

继续阅读 →

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=\dfrac{\pi}{2} $，$a_{n+1}=a_n-\dfrac{\sin a_n}{n+1}$（$n \in\mathbb N^{\ast}$）．

1、证明：$0<a_{n+1}<a_n \leqslant \dfrac{\pi}{2}$．

2、证明：$n a_n<10$．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x+1}$．

1、求 $f(x)$ 的极值．

2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant ax+\ln x+2$，求实数 $a$ 的取值范围．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$xf(x)+x^2f'(x)={\rm e}^x$，$f(1)={\rm e}$，判断函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性．

继续阅读 →

已知 $\{a_n\}$ 不是常数列，$a_n\ne 0$，$a_1=u$，$a_{n+1}=a_n+\sin (2a_n)+\lambda$，是否对任意正数 $\varepsilon$，都存在 $u,\lambda,N$（$u,\lambda\in\mathbb R$，$N\in\mathbb N^{\ast}$），使得当 $n>N$ 时，有 $|a_n-1|<\varepsilon$？

继续阅读 →