已知 $F_1, F_2$ 分别为双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 且倾斜角为 $\theta$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，记 $\triangle A F_1 F_2$ 的内切圆 $O_1$ 的半 径为 $r_1, \triangle B F_1 F_2$ 的内切圆 $O_2$ 的半径为 $r_2$，圆 $O_1$ 的面积为 $S_1$，圆 $O_2$ 的面积为 $S_2$，则（ ）
A．$\theta$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5 \pi}{6}\right)$
B．直线 $O_1 O_2$ 与 $x$ 轴垂直
C．若 $r_1+r_2=2$，则 $|AB|=6$
D．$S_1+S_2$ 的取值范围是 $\left[2 \pi, \dfrac{10 \pi}{3}\right)$
已知函数 $f(x)=a x^2+x-\mathrm{e}^x+1$，其中 $a \in \mathbb{R}$，$\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数．
1、若 $a=\dfrac{1}{2}$，证明：当 $x<0$ 时，$f(x)>0$；当 $x>0$ 时，$f(x)<0$．
2、设函数 $g(x)=\cos x-f(x)+1$，若 $x=0$ 是 $g(x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围． （参考数据：$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}} \approx 0.59$，$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{8}} \approx 0.46$）
已知 $A, B$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点，若椭圆 $C$ 的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点 $(-\sqrt{2}, 1)$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作一条直线交椭圆 $C$ 于 $M, N$（异于 $A, B$ 两点）两点，连接 $A M, A N$ 并延长，分别交直线 $l: x=2 \sqrt{2}$ 于不同的两点 $P, Q$．证明：直线 $M Q$ 与直线 $N P$ 相交于点 $B$．
设双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左右两个焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 是双曲线上任意一点，过 $F_1$ 的直线与 $\angle F_1PF_2$ 的平分线垂直，垂足为 $Q$，则点 $Q$ 的轨迹 $E$ 的方程为_______；$M$ 在曲线 $E$ 上，点 $A(8,0)$，$B(5,6)$，则 $\dfrac12|AM|+|BM|$ 的最小值为_______．
已知拋物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过定点 $(2,0)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，$A F$ 与 $E$ 的 另一个交点为 $C$，$B F$ 与 $E$ 的另一个交点为 $D$，则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2+a x-a x \ln x$．
1、记 $g(x)=f^{\prime}(x)$，讨论函数 $g(x)$ 的单调性．
2、若正实数 $\lambda, \mu$ 满足 $\lambda+\mu=1$，实数 $a<0$，求证：\[\forall x_1, x_2 \in(0,+\infty), ~f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+\mu f\left(x_2\right).\]
己知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$，若 $f(3 x-2)+f(4-3 x)=f(3)$，$g(x)+g(4-x)=4$，则（ ）
A．$f(-1)=0 $
B．$f(f(1))>f(0)$
C．$g(f(-1))<g(f(1))$
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} g(k)=4046$
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1P}=x\overrightarrow{B_1A}+y\overrightarrow{B_1C}+z\overrightarrow{B_1D_1}$，且 $x+y+z=1$，若二面角 $B_1-P D_1-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}{3}$，$ O$ 为 $\triangle A C D_1$ 的中心，则 $\sin \angle P D_1 O=$（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
已知函数 $f(x)=\cos x+\dfrac{t}{x}$，$x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$．
1、若方程 $f(x)=0$ 在 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 有解，证明：$t \in\left(-\dfrac{2}{3}, 0\right)$．
2、若函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$，证明：$\dfrac{\pi}{2}<x_1+x_2<\dfrac{2 \pi}{3}$．
在等腰梯形 $A B C D$ 中，$A D\parallel BC$，$A B=A D=C D=\dfrac{1}{2} B C$，$A C$ 交 $B D$ 于 $O$ 点，$\triangle A B D$ 沿着直线 $B D$ 翻折成 $\triangle A_1 B D$，所成二面角 $A_1-B D-C$ 的大小为 $\theta$，则下列选项中正确的是（ ）
A．$\angle A_1 B C \leqslant \theta$
B．$\angle A_1 O C \geqslant \theta$
C．$\angle A_1 D C \leqslant \theta$
D．$\angle A_1 B C+\angle A_1 D C \geqslant \theta$
