Math173

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 对于 $m \in\mathbb N^{\ast}$，若 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$．

条件 ①：$a_n>0$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ②：存在常数 $T>0$，使得 $a_n \leqslant T$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ③：$a_n+a_{n+1}=m a_{n+2}$（$n=1,2, \cdots$）．

1、若 $a_n=5+4 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$（$n=1,2, \cdots$），且数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，直接写出 $m$ 的值和一个 $T$ 的值；

2、是否存在具有性质 $P(1)$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$？若存在，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：若不存在，说明理由；

3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，且各项均为正整数，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

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已知集合 $M=\left\{\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n\right\}$，$n \in \mathbb N^{\ast}$，设函数\[ f_n(x)=\sin ^2\left(x-\theta_1\right)+\sin ^2\left(x-\theta_2\right)+\cdots+\sin ^2\left(x-\theta_n\right).\]

1、当 $M=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 和 $\left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 时，分别判断函数 $f_2(x)$ 是否是常数函数？说明理由；

2、已知 $M \subseteq\left\{\theta \mid \theta=\dfrac{k \pi}{12}, k \in \mathbb N, k \leqslant 12\right\}$，求函数 $f_3(x)$ 是常函数的概率；

3、写出函数 $f_n(x)$（$n \geqslant 2$）是常函数的一个充分条件，并说明理由．

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已知椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P(0, \sqrt{3})$，$A_1, A_2$ 为 $\Gamma$ 的左、右顶点，且直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac{3}{4}$，动点 $Q(m, n)$ 在 $\Gamma$ 上，其中 $m<0$，$n>0$，直线 $l: 3 m x+4 n y=0$ 与 $\Gamma$ 在第一象限的交点为 $R$，点 $T$ 在线段 $O R$ 上（$O$ 为坐标原点），且 $|Q T|=2$． 

1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；

2、直线 $Q T$ 过定点 $S$，并求出定点 $S$ 的坐标．

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已知曲线 $\Gamma$ 上的点到定点 $F_2(\sqrt{3}, 0)$ 的距离与其到直线 $x=2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$F_1(-\sqrt{3}, 0)$，动点 $P$ 满足 $\angle F_1 P F_2=\dfrac{\pi}{3}$，过 $P$ 作曲线 $\Gamma$ 的两条切线，切点分别为 $M, N$，记 $\triangle P M N, \triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．

1、求曲线 $\Gamma$ 的方程；

2、求 $P$ 的横坐标取值范围；

3、求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围．

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求所有的正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的 $n \geqslant 3$，都有\[ \frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\cdots+\frac{1}{a_{n-2} a_n}+\frac{1}{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2}=1.\]

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是斐波那契数列 $\{1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots\}$，这一数列以如下递推的方法定义：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{b_n\right\}$ 对于确定的正整数 $k$，若存在正整数 $n$，使得 $b_{k+n}=b_k+b_n$ 成立，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 为 $k$ 阶可拆分数列．

1、已知数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=m a_n$（$n \in\mathbb N^{\ast}$，$m \in\mathbb R$），判断是否对任意 $m\in\mathbb R$，总存在确定的正整数 $k$，使得数列 $\left\{c_n\right\}$ 为 $k$ 阶可分拆数列，并说明理由；

2、设数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=3^n-a$（$a \geqslant 0$）．

① 若数列 $\left\{d_n\right\}$ 为 $1$ 阶可分拆数列，求出符合条件的实数 $a$ 的值；

② 在 ① 的前提下，若数列 $\left\{f_n\right\}$ 满足 $f_n=\dfrac{a_n}{S_n}$，其前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：当 $n \in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 3$ 时，有\[ T_n<a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2-a_n a_{n+1}+1.\]

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已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右顶点 $A(1,0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．

1、求双曲线 $C$ 的方程；

2、设过点 $B(1,1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A Q$ 交于点 $R$，证明：以线段 $P R$ 的中点 $M$ 为圆心且过坐标原点的圆还过其它定点 $T$．

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已知椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$ 为 $E$ 的左顶点，$B$ 为 $E$ 的上顶点，$E$ 的离心率为 $\dfrac 1 2$，$\triangle ABO$ 的面积为 $\sqrt 3$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、过点 $P(-2,1)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交直线 $AN$ 于点 $H$，证明：线段 $MN$ 的中点 $T$ 在定直线上．

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若存在实数 $k$ 和周期函数 $h(x)$，使得 $f(x)=k x+h(x)$，则称 $f(x)$ 是好函数．

1、判断 $u(x)=\sin x$，$v(x)=x+x^2$ 是否是好函数，证明你的结论；

2、对任意实数 $x$，函数 $f(x), g(x)$ 满足 $g(f(x))=x$，$f(g(x))=x$，若 $f(x)$ 是好函数， ① 当 $f(x)=2 x$ 时，求 $g(x)$； ② 求证：$f(x)$ 不是周期函数； ③ 求证：$g(x)$ 是好函数．

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已知当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$．

1、证明：当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{2}$； 设 $f(x)=m \sin x$，

2、若区间 $[a, b]$ 满足当 $f(x)$ 定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$，则称为 $f(x)$ 的和谐区间．

① 当 $m=1$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由；

② 当 $m=-2$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由．

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