Math173

已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，则 $m=3 \sin A+4 \sin B+18 \sin C$ 的最大值为（       ）

A．$9\sqrt 7$

B．$\dfrac{35\sqrt 7}4$

C．$8\sqrt 7$

D．$\dfrac{31\sqrt 7}4$

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已知 $A, B, C$ 为 $\triangle ABC$ 内角，$x, y, z$ 为实数，以下三式中恒成立的个数为（       ）\[\begin{split} & x^2+y^2+z^2- 2y z \sin A- 2z x \sin B+ 2x y \cos C\geqslant 0 ,\\ & x^2+y^2+z^2- 2 y z \sin A+ 2 z x \sin B- 2 x y \cos C\geqslant 0, \\ & x^2+y^2+z^2+ 2 y z \cos A+ 2 z x \cos B-2x y \cos C\geqslant 0. \end{split}\]

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

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设 $\left(x^{2}+x-1\right)^{100}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{199} x^{199}+a_{200} x^{200}$，则\[M=2 a_{0}-a_{1}-a_{2}+2 a_{3}-a_{4}-a_{5}+\cdots+2 a_{198}-a_{199}-a_{200}\]的值为（       ）

A．$2^{199}$

B．$2^{200}$

C．$2^{201}$

D．$2^{202}$

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在正方形 $ABCD$ 所在的平面内找一点 $P$，使得 $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCD, \triangle PDA$ 均为等腰三角形，则符合题意的点 $P$ 的个数为（        ）

A．$1$

B．$5$

C．$9$

D．$10$

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四面体 $ABCD$ 体积为 $6$，$AB\perp BC$，$BC\perp CD$，$AB=BC=CD=2 \sqrt{3}$，则异面直线 $AD$ 与 $BC$ 的夹角可能为（       ）

A．$\dfrac{\pi}6$

B．$\dfrac{\pi}4$

C．$\dfrac{\pi}3$

D．$\dfrac{\pi}2$

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已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦距为 $4$，且经过点 $(\sqrt 2,\sqrt 3)$．

1、求 $C$ 的方程．

2、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，求 $|AB|$ 的取值范围．

3、已知点 $P$ 是 $C$ 上的动点，是否存在定圆 $O: x^2+y^2=r^2$（$r>0$），使得当过点 $P$ 能作圆 $O$ 的两条切线 $PM,PN$ 时（其中 $M,N$ 分别是两切线与 $C$ 的另一交点），总满足 $|PM|=|PN|$？若存在，求出圆 $O$ 的半径 $r$；若不存在，请说明理由．

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记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c,\triangle ABC$ 的面积为 $S$． 已知 $S=-\dfrac{\sqrt 3}4\left(a^2+c^2-b^2\right)$．

1、求 $B$．

2、若点 $D$ 在边 $AC$ 上，且 $\angle ABD=\dfrac{\pi}2$，$AD=2 DC=2$，求 $\triangle ABC$ 的周长．

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已知曲线 $C$ 是平面内到定点 $F(0,-2)$ 与到定直线 $l: y=2$ 的距离之和等于 $6$ 的点的轨迹，若点 $P$ 在 $C$ 上，对给定的点 $T(-2,t)$，用 $m(t)$ 表示 $|PF|+|PT|$ 的最小值，则 $m(t)$ 的最小值为_______．

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已知直线 $y=k x$ 与曲线 $y=\ln x$ 相交于不同两点 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，曲线 $y=\ln x$ 在点 $M$ 处的切线与在点 $N$ 处的切线相交于点 $P\left(x_0,y_0\right)$，则（       ）

A．$0<k<\dfrac 1{\mathrm e}$

B．$x_1 x_2=\mathrm e x_0$

C．$y_1+y_2=1+y_0$

D．$y_1 y_2<1$

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已知 $\alpha,\beta$ 是函数 $f(x)=3\sin\left(2 x+\dfrac{\pi}6\right)-2$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的两个零点，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ （       ）

A．$\dfrac 2 3$

B．$\dfrac{\sqrt 5}3$

C．$\dfrac{\sqrt{15}-2}6$

D．$\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 5}6$

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