2024年5月湖北省武汉市调研试卷#8
在三角形 $ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且满足 $c^2-a^2=a b$，$c=2$，则当 $\triangle ABC$ 面积取最大值时，$\cos C=$（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3-1}2$
B．$\dfrac{\sqrt 3+1}4$
C．$\dfrac{2-\sqrt 2}2$
D．$\dfrac{2+\sqrt 2}4$
每日一题[3490]独立判定
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#7
抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记 事件 $A$：$n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上； 事件 $B$：$n$ 次中至多有一次正面朝上； 下列说法不正确的是（ ）
A．当 $n=2$ 时，$P(AB)=\dfrac 1 2$
B．当 $n=2$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立
C．当 $n=3$ 时，$P(A+B)=\dfrac 7 8$
D．当 $n=3$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立
每日一题[3489]递推概率
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#19
某校数学兴趣小组由水平相当的 $n$ 位同学组成，他们的学号依次为 $1,2,3,\cdots,n$．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为 $\dfrac 1 2$，每个同学的答题过程都是相互独立的，挑战的具体规则如下：
① 挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
② 挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第 $1$ 号同学开始第 $1$ 轮挑战；
③ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；
④ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第 $i$ 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；
⑤ 若挑战进行到了第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．令随机变量 $X_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $X_n$（$X_n=1,2,3,\cdots,n$）轮结束．
1、求随机变量 $X_4$ 的分布列．
2、若把挑战规则 ① 去掉，换成规则 ⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量 $Y_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $Y_n\left(Y_n=1,2,3,\cdots,n\right)$ 轮结束．求随机变量 $Y_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 2$）的分布列，并证明\[E\left(Y_2\right)<E\left(Y_3\right)<E\left(Y_4\right)<E\left(Y_5\right)<\cdots<E\left(Y_n\right)<\cdots<3.\]
每日一题[3488]定点定值
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#18
己知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率 $e=\sqrt 2$，$P_1,P_2$ 分别为其两条渐近线上的点，若满足 $\overrightarrow{P_1 P}=\overrightarrow{PP_2}$ 的点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle OP_1 P_2$ 的面积为 $8$，其中 $O$ 为坐标原点．
1、求双曲线 $C$ 的方程．
2、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_2$ 的动直线与双曲线相交于 $A,B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ 为定值？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题[3487]复数与旋转
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#15
如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 $AC=10$，$\angle BAC=\dfrac{\pi}3$， $\angle DAC=\dfrac{\pi}4$，$BD$ 交 $AC$ 于点 $E$． 
1、求 $BD^2$．
2、求 $AE$．
每日一题[3486]样本合并
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#13
某班成立了 $A,B$ 两个数学兴趣小组，$A$ 组 $10$ 人，$B$ 组 $30$ 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，$A$ 组的平均成绩为 $130$ 分，方差为 $115$，$B$ 组的平均成绩为 $110$ 分，方差为 $215$．则在这次测试中全班学生方差为_____．
每日一题[3485]走马观花
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#11
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，当 $n\geqslant $ 时，有 $a_n=\begin{cases}a_{n-1},&\dfrac n 4\in\mathbb N^{\ast},\\a_{n-1}+1,&\dfrac n 4\notin\mathbb N^{\ast}.\end{cases}$ $b_m$ 表示 $\left\{a_n\right\}$ 落在区间 $\left[2^m,2^{m+1}\right)$ 的项数，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，则（ ）
A．$b_3=10$
B．$\dfrac{3 n}4\leqslant a_n\leqslant\dfrac{3 n+3}4$
C．$\displaystyle\sum_{k=1}^{4 n}a_k=6 n^2+3 n$
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}b_k=\dfrac 4 3\left(4^n-1\right)$
每日一题[3484]抛物线的性质
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#10
已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $AB$ 交抛物线于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，$M(3,1)$，则（ ）
A．$x_1+x_2$ 的最小值为 $2$
B．以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切
C．$|MA|+|AF|$ 的最小值为 $4$
D．$|AF|^2+|BF|^2$ 的最小值为 $2$
每日一题[3483]三角换元
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#8
已知 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 上两点．若 $x_1 x_2+y_1 y_2=-1$，则 $x_1+x_2+y_1+y_2$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$
B．$[-1,1]$
C．$[-\sqrt 2,\sqrt 2]$
D．$[-2,2]$
每日一题[3482]公切线与零点
2024年广东四校高三年级第一次联考#19
已知函数 $f(x)=a\mathrm e^x$，$g(x)=\ln x+b$（$a,b\in\mathbb R$）．
1、当 $b=1$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
2、已知直线 $l_1 , l_2$ 是曲线 $y=g(x)$ 的两条切线，且直线 $l_1 , l_2$ 的斜率之积为 $1$．
① 记 $x_0$ 为直线 $l_1 , l_2$ 交点的横坐标，求证：$x_0<1$；
② 若 $l_1 , l_2$ 也与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $a,b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围．