Math173

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#1

$\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]$ 模 $ 7$ 的余数为（       ）

A．$1$

B．$3$

C．$5$

D．以上答案都不对

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2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #14

已知 $\max\limits_{x \in A}\{f(x, y)\}$ 表示函数 $f(x, y)$ 当自变量 $x \in A$ 时的最大值，$\min\limits _{x \in A}\{f(x, y)\}$ 表示函数 $f(x, y)$ 当自变量 $x \in A$ 时的最小值，已知函数 $f(x, y)=-5 x y+\dfrac{5}{3}(x+y)-2$，则 $\min\limits_{x \in[0,1]}\left\{\max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}\right\}=$ _____．

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2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #13

《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除 $^{[\text{注}]}$，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？大意是：今有墓道（如图，平面 $ABCD\perp~\text{平面}~DCEF$），下宽（$AB$ 长）$6$ 尺，上宽（$CD$ 长）$1$ 丈（$1$ 丈为 $10$ 尺），深（$AB$ 与 $CD$ 距离）$3$ 尺，末端宽（$EF$ 长）$8$ 尺，无深，长（$EF$ 与 $CD$ 距离）$7$ 尺，它的体积是____立方尺．

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2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #11

已知曲线 $C$ 是到点 $F_1(-a,0)$ 和 $F_2(a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^2$ 点的轨迹（称为双纽线），则（       ）

A．若 $a=1$，点 $(\sqrt{2}, 0)$ 在曲线 $C$ 上

B．若 $a=1$，曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x^2-y^2$

C．若 $a=2$，曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $ 1$

D．若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则 $\left|y_0\right| \leqslant\left|x_0\right|$

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#19

混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测，种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用 $x_n$ 来表示系统在第 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态 $x_{n+1}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$，$0<x_1<1$，其中 $f(x)=-a x^2+a x$．

1、当 $a=3$ 时，若满足对 $\forall n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $x_n=f\left(x_{n+1}\right)$，求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式；

2、证明：当 $a=1$ 时，$\left\{x_n\right\}$ 中不存在连续的三项构成等比数列；

3、若 $x_1=\dfrac 1 2$，$a=1$，记 $S_n=x_n^2 x_{n+1}^2$，证明：$S_1+S_2+\cdots+S_n<\dfrac 1 8$．

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#18

某企业生产一种零部件，其质量指标介于 $(49.6,50.4)$ 的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.16)$；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.04)$． 附：若 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$，取 $P(|X-\mu|<\sigma)=0.6827$，$P(|X-\mu|<2\sigma)=0.9545$．

1、求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；

2、若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是 $p$（$0<p<1$），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．

① 若控制系统原有 $4$ 个元件，讨算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？

② 假设该系统配置有 $n$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N$）个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明．

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#17

已知双曲线 $E: x^2-y^2=1$，直线 $PQ$ 与双曲线 $E$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $MN$ 与双曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点．

1、若直线 $MN$ 经过坐标原点，且直线 $PM,PN$ 的斜率 $k_{PM},k_{PN}$ 均存在，求 $k_{PM}\cdot k_{PN}$；

2、设直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的交点为 $T(1,2)$，且 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{TM}\cdot\overrightarrow{TN}$，证明：直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之和为 $0$．

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#14

已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 $1: 2$，其内切球的半径为 $1$，则该正四棱台的体积为_____．

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#13

已知 $\dfrac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\sqrt 3$，则 $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=$ _____．

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2024年5月湖北省武汉市调研试卷#10

在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，圆 $O: x^2+y^2=5$，$P$ 为圆 $O$ 上任意一点，$Q$ 为椭圆 $C$ 上任意一点．过 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_1,l_2$，当 $l_1,l_2$ 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为 $k_1,k_2$，则（       ）

A．椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$

B．$|PQ|$ 的最小值为 $1$

C．$|PQ|$ 的最大值为 $\sqrt 5+2$

D．$k_1^2+k_2^2\geqslant 3$

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