Math173

2024年清华大学暑期工科营数学试题 #3

已知 $a,b\in \mathbb R$ 且 $a^2+b^2\ne 0$，$M=\min \left\{a, \dfrac{b}{a^2+b^2}\right\}$，则 $M$ 的最大值为_____．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #14

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），直线 $l$ 经过坐标原点，与 $l$ 平行的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中点 $A(2, \sqrt{2})$，当直线 $l \perp x$ 轴时，直线 $A B$ 经过椭圆的焦点．

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）若点 $D, E, G, H$ 满足 $3\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O B}$，直线 $A E$ 交 $l$ 于点 $G$，直线 $D G$ 交 $A B$ 于点 $H$，求 $\triangle A G H$ 面积的取值范围．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12

已知公差不为 $ 0 $ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，且 $a_1, a_3, a_7$ 成等比数列．

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n b_{n+1}=a_n$，

① 求证：$b_{2 n}=\dfrac{4^n}{\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 n}^n}$；

② 是否存在 $n \in \mathbb N^{\ast}$，使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{b_i}<2 \sqrt{n+1}-2$．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #8

已知不等式 $x|x-a|<1$ 的解集为 $P$，若 $(0,1] \subseteq P$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #4

已知 $4$ 个男生和 $ 3$ 个女生排成一圈，则 $3$ 个女生不相邻的概率是_____．

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2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #19

若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x-T)+ f(x+T)=Tf(x)$，则称 $f(x)$ 是类周期为 $T$ 的类周期函数．

（1）若函数 $f(x)$ 是类周期为 $1$ 的类周期函数，证明：$f(x)$ 是周期函数；

（2）已知 $f(x)=2 x-\sin\omega x$（$\omega>0$）是类周期函数，求 $\omega$ 的值及 $f(x)$ 的类周期；

（3）若奇函数 $f(x)$ 是类周期为 $T$（$T>0$）的类周期函数，且 $\dfrac{f(3 T)}{f(T)}=1$，求 $T$ 的值，并给出符合条件的一个 $f(x)$．

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2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #18

已知正四棱柱 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $ABCD$ 为边长为 $3$ 的正方形，$AA_1=6$，点 $E,F,G$ 分别在线段 $A_1 D_1,AA_1,B_1 C_1$ 上，且 $A_1 F=2 A_1 E=2$，$C_1 G=\dfrac 3 2$，点 $H$ 在线段 $BB_1$ 上且 $EF\parallel GH$．

（1）求锐二面角 $A_1-FH-E$ 的余弦值；

（2）求平面 $EFHG$ 将四棱柱分割成两个多面体的体积比．

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2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #14

在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=CA=2$，$PA=PB$，二面角 $P-AB-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}3$，则 $PA^2+ PB^2+PC^2$ 最小时，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为_____．

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2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #10

已知 $n>\dfrac m 2$，且 $x=\left|\log_2 m\right|$，$y=\left|\log_2 n+1\right|$，$z=2\left|\log_2\left(\dfrac m 2+n\right)\right|$，则（      ）

A．若 $x=y$，则 $n>\dfrac 1 2$

B．若 $x=y$，则 $m+n$ 的最大值为 $\sqrt 2$

C．若 $x=y=z$，则 $m^4+2 m^2-4 m+1=0$

D．若 $x=y=z$，则 $n^2-2 n+\dfrac 3 4>0$

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2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #8

若 $\alpha,\beta,\gamma\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}2\right)$，且\[\sin\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\sin\dfrac{\beta-\gamma}2=\cos\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\cos\dfrac{\beta-\gamma}2=0,\]则 $\sin (\alpha-\beta)=$ （       ）

A．$\pm\dfrac 1 2$

B．$\dfrac 1 2$

C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$

D．$-\dfrac{\sqrt 3}2$

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