这次我们来看看2010年北京高考理科数学解析几何试题中的条件转化．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(B\)与\(A(-1,1)\)关于原点对称，\(P\)是动点，且直线\(AP\)与\(BP\)的斜率之积等于\(-\dfrac 13\)．
（1）求动点\(P\)的轨迹方程；
（2）设直线\(AP\)和\(BP\)分别与直线\(x=3\)交于点\(M\)，\(N\)，问：是否存在点\(P\)使得\(\triangle PAB\)与\(\triangle PMN\)的面积相等？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
今天继续带来一道代数条件直观化的试题．原题是2015年北京市海淀区高三期末文科压轴题．
已知数列\(\{a_n\}\)是公差为\(d\)，首项\(a_1=1\)的等差数列，问是否存在实数\(d\)使得数列\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的\(d\)的值；若不存在，说明理由．
这是2013年全国新课标I卷理科数学的选择题最后一题（第12题），主要考察变化中的规律探索．同时，本题也是代数条件直观化的一道好题．数形结合思想最强大、最优美的一面就是：对繁杂晦涩的代数算式运用几何直观的方式将蕴含的本质挖掘出来，从而使得问题获得极大简化．
设三角形\(A_nB_nC_n\)的三边长分别为\(a_n,b_n,c_n\)，三角形\(A_nB_nC_n\)的面积为\(S_n\)，\(n=1,2,3,\cdots\)，若\(b_1>c_1\)，\(b_1+c_1=2a_1\)，且满足\[\begin{split}a_{n+1}&=a_n,\\b_{n+1}&=\frac{c_n+a_n}2,\\c_{n+1}&=\frac{b_n+a_n}2,\end{split}\]则（ ）
A．\(\{S_n\}\)为递减数列
B．\(\{S_n\}\)为递增数列
C．\(\{S_{2n-1}\}\)为递增数列，\(\{S_{2n}\}\)为递减数列
D．\(\{S_{2n-1}\}\)为递减数列，\(\{S_{2n}\}\)为递增数列
平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分，在这些部分中一题多解也是最为常见的．今天就给大家带来一道自主招生训练题，一起来感受一下．
如图，\(P\)为三角形\(ABC\)内部一点，且满足\(\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP\)，求证：\(BC^2=AC\cdot AB\)．
据说这是一道练习复数法的习题，但我没有用复数法解出来．
已知\(P\)为三角形\(ABC\)的费马点，记\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)的长为\(x\)，\(y\)，\(z\)，三角形的边长为\(a\)，\(b\)，\(c\)．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\]
有时候，好题并不是取决于题目的来源或是出处，而是自己的审美爱好．这点在平面解析几何试题中表现的尤其明显．一样的条件，不同的解读与转换方式会带来解法风格的截然不同．接下来的这道普普通通的试题就是典范．
已知直线\(y=k(x+2)(k>0)\)与抛物线\(C:y^2=8x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)为\(C\)的焦点．若\(FA=2FB\)，则\(k=\)________．
本题是2015年北京市北京大学附属中学的高一期末填空题的最后一题，综合考察了平面向量、递推（归纳）思想以及对新定义的理解与应用．对于没有学过复数的高一的学生来说，这道题还是颇有难度的，细细品来也别有一番风味．
设系列向量\(\overrightarrow{a_n}\left(n\in\mathcal N\right)\)按如下方式形成：
\(\overrightarrow{a_0}=\left(5,0\right)\)，常向量\(\overrightarrow b=\left(10,0\right)\)；
\(\overrightarrow{a_0}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_0}\)，\(\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{b_0}+\overrightarrow b\)；
\(\overrightarrow{a_1}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_1}\)，\(\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow b\)；
…… ……
\(\overrightarrow{a_n}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_n}\)，\(\overrightarrow{a_{n+1}}=\overrightarrow{b_n}+\overrightarrow b\)．
则\(\left|\overrightarrow{a_{2015}}\right|=\)________．
注：“绕起点”这个限制是多余的．
本题是2015年北京市东城区高二期末考试的选择最后一题改成的填空题．题干简洁干净，考察点也同样清晰明朗；难度方面，思路入口宽，但想要真正解出并不容易．总的来说就是小巧的试题，深厚的背景，是道难得的好题．
点\(P\)到点\(A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)\)及到直线\(x=-\dfrac 12\)的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么\(a\)的值是________．
今天带来的题目是2015年北京海淀区高三期末理科选择最后一题．这道题目是经典的解析几何动态问题，需要运用函数与方程思想，积极探索构造不变量加以解决．
已知点\(A\)在曲线\(P:y=x^2(x>0)\)上，圆\(A\)过原点\(O\)，且与\(y\)轴的另一个交点为\(M\)．若线段\(OM\)，圆\(A\)和曲线\(P\)上分别存在点\(B\)、点\(C\)和点\(D\)，使得四边形\(ABCD\)（点\(A,B,C,D\)顺时针排列）是正方形，则称点\(A\)为曲线\(P\)的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）
A．曲线\(P\)上不存在“完美点”
B．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(1\)
C．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(\dfrac 12\)且小于\(1\)
D．曲线\(P\)上存在两个“完美点”，其横坐标均大于\(\dfrac 12\)
共线向量和共圆向量是向量问题中两种最重要的向量．共线向量的表达一般利用\[\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\]进行，那么如何恰当的表达共圆向量呢？ 
如图，已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(120^\circ\)，\(P\)为弧\(AB\)上一点，\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)．求\(x+y\)的取值范围． 
继续阅读
