2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #5
已知 $x, y$ 为正整数，且 $1 \leqslant x, y \leqslant 1987$，则满足 $x\mid \left[\dfrac{x^2}{y}\right]+1$ 的 $(x, y)$ 的整数对有_____个．
2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #4
$2023 $ 支球队进行循环赛（任意 $2$ 队均进行一场比赛），胜队得 $ 3$ 分，负队得 $ 0$ 分，平局各加 $ 1 $ 分，赛后各队总分构成公差为 $1$ 的等差数列，则最后一名得分的最大值为_____．
2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #3
已知集合 $A,B,C$ 满足 $A \cup B \cup C=\{1,2, \cdots, 2023\}$，$A \cap B \cap C=\varnothing$，设满足条件的集合对 $(A,B,C)$ 有 $n$ 个，则十进制下 $n$ 的最后 $2$ 位数是_____．
2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #1
已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，则 代数式 $f=\dfrac{\left(1-\sqrt{\tan \dfrac{\alpha}{2} \tan \dfrac{\beta}{2}}\right)^2}{\cot\alpha+\cot \beta}$ 的最大值是_______．
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #17
已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{b}{x}-x$．
1、设 $a=1$，$b=-2$，求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $ 2$ 的切线方程；
2、若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #19
在平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=A C=C D=1$，$\angle A D C=30^{\circ}$，$\angle D A B=120^{\circ}$，将 $\triangle A C D$ 沿 $A C$ 翻折至 $\triangle A C P$，其中 $P$ 为动点．
1、设 $P C \perp A B$，三棱锥 $P-A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上．
① 证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$；
② 求球 $O$ 的半径；
2、求二面角 $A-C P-B$ 的余弦值的最小值．
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #18
已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，左、右焦点分别为 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$．
1、求 $C$ 的方程；
2、已知点 $M_0(1,4)$，证明：线段 $F_1 M_0$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点；
3、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F_1 M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点，证明 $M$ 的轨迹为圆，并求该圆的方程．
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #8
已知函数 $f(x)=x|x-a|-2 a^2$．若当 $x>2$ 时，$f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty, 1]$
B．$[-2,1]$
C．$[-1,2]$
D．$[-1,+\infty)$
已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xyz=1$，且 $0\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma\leqslant 2\beta$，求证：\[\dfrac 1{x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}}+\dfrac 1{y^{\alpha}+z^{\beta}+x^{\gamma}}+\dfrac 1{z^{\alpha}+x^{\beta}+y^{\gamma}}\leqslant 1.\]
