已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d$ 不等于 $0$ 的等差数列，且 $\{a_{k_n}\}$ 是等比数列，其中 $k_1=3$，$k_2=5$，$k_3=9$．
1、求 $k_1+k_2+\cdots+k_n$ 的值．
2、若 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\sqrt{\dfrac{a_n}{a_{n+2}}}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：\[\dfrac{1}{1\cdot 2\sqrt{2b_1}}+\dfrac{1}{2\cdot 3\sqrt{2b_2}}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\sqrt{2b_n}}<\sqrt{\dfrac n{n+1}}.\]
已知函数 $f(x)=|x^2+a|+|x|$，当 $x\in [-1,1]$ 时，记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，则 $ M(a)$ 的最小值为_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_1$ 作与一条渐近线垂直的直线 $l$，且 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|=|NF_2|$，则该双曲线的渐近线方程为_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 的中点，$E$ 为边 $BC$ 上一点，且 $AE=AC=BE$，$DE=1$，若 $\cos C=\dfrac 13$，则 $\triangle ABC$ 的面积等于_______
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$，记 $T_n$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项乘积，则（ ）
A．$a_{100}<\dfrac 12$
B．$a_{100}>1$
C．$T_{99}\in\left(0,\dfrac{1}{100}\right)$
D．$T_{99}\in\left(\dfrac{1}{100},\dfrac{1}{10}\right)$
已知 $P,Q,M$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上不同的三点，且原点 $O$ 是 $\triangle PQM$ 的重心，若点 $M\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2b\right)$，直线 $PQ$ 的斜率恒为 $-\dfrac 12$，则椭圆 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 2}3$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline X&0&1&2\\ \hline P&a&b&c\\ \hline\end{array}\]若 $4a,b,c$ 成等比数列，则 $D(X)$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac 16$
B．$\dfrac 13$
C．$\dfrac 12$
D．$1$
已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-a}x+b$ 在点 $(1,{\rm e}-1)$ 处的切线与直线 $l:x+y=0$ 垂直．
1、设函数 $g(x)=xf(x)-x^2$，求函数 $g(x)$ 的单调区间．
2、证明：${\rm e}^x-2x\ln x-x>1$． 参考数据：$\ln 2\approx 0.693$，${\rm e}\approx 2.718$．
已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线与 $x$ 轴交于 $D$ 点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|FA|\cdot |FB|=|FA|+|FB|$．
1、求抛物线 $C$ 的方程． 设 $P,Q$ 是抛物线 $C$ 上的不同两点，且 $PF\perp x$ 轴，
2、直线 $PQ$ 与 $x$ 轴交于 $G$ 点，再在 $x$ 轴上截取线段 $|GE|=|GD|$，且点 $G$ 介于点 $E$ 与点 $D$ 之间，连接 $PE$，过点 $Q$ 作直线 $PE$ 的平行线 $l$，证明：$l$ 为抛物线 $C$ 的切线．
在三棱台 $ABC-DEF$ 中，$AB\perp AC$，$AB=2DE=2$，$AC=2\sqrt 2$，$CF=2$，且 $CF\perp ABC$，设 $P,Q,R$ 分别为棱 $AC,FC,BC$ 的中点．
1、证明：$BCD\perp PQR$．
2、求二面角 $E-BD-C$ 的正弦值．
