2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(\sqrt 6,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．一条直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $l$，$M\left(x_0,y_0\right)$ 为直线 $AB$ 与直线 $l$ 的交点．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、若 $x_0=1$，直线 $l$ 是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由．
2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #15
已知函数 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+1)$，$g(x)=\mathrm e^x-1$，下列结论中正确结论的序号是_____．
① 当 $m=1$ 时，方程 $f(x)=g(x)$ 有且只有一个实数解；
② 当 $m\in(-1,0)$ 时，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)<0$ 或 $g(x)<0$；
③ 当 $m\in(0,1)$ 时，对任意 $x\in(-\infty,-2)$，$f(x) g(x)<0$；
④ 存在 $m\in\mathbb R$，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)-g(x)<0$．
2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #10
已知由正整数组成的集合 $A=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{50}\right\}$，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和，$E(A)$ 表示集合 $A$ 中偶数的个数．若 $S(A)=2025$，则 $E(A)$ 的最小值为（ ）
A．$5$
B．$7$
C．$9$
D．$10$
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #21
若有穷数列 $A: a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$，$m\geqslant 3$）满足如下两个性质，则称数列 $A$ 具有性质 $P$：
① $a_1\in\mathbb Z$；
② $\left|a_{k+1}-a_k\right|=2^k$（$k=1,2,\cdots,m-1$）．
1、当 $a_1=2$，$m=3$ 时，写出两个具有性质 $P$ 的数列 $A$；
2、给定的正整数 $m$（$m\geqslant 3$），若数列 $A: a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m$ 具有性质 $P$，且 $a_1=1$．将 $a_m$ 的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列，记为 $B_m$，数列 $B_m$ 的所有项的和为 $S_m$．
① 证明：数列 $B_m$ 为等差数列；
② 从 $S_3,S_4,\cdots,S_{2025}$ 中任意取 $t$ 个数构成集合 $M$，使得对任意的 $S_i\in M$，存在 $S_j\in M$，满足 $S_i S_j$ 能被 $2^{10}$ 整除，求 $t$ 的最小值．
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #20
设函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{x-b}{x+1}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+4 y-1=0$．
1、求实数 $a,b$ 的值；
2、求函数 $f(x)$ 的单调区间；
3、求函数 $g(x)=\left(x^2-1\right)\ln x-4(x-1)^2$ 的零点的个数．
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且经过点 $A(0,1)$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、若过点 $(-1,0)$，斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $B,D$，且与直线 $y=-1$ 交于点 $E$，点 $D$ 在线段 $BE$（不包括两端点）上，$O$ 为坐标原点，直线 $EO$ 与直线 $AB,AD$ 分别交于点 $M,N$．求证：点 $M,N$ 关于原点 $O$ 对称．
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #15
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 与等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 是两个无穷数列，且都不是常数列．下列结论中所有正确结论的序号是_____．
① 数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 不是等比数列；
② 若 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是递增数列，则数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 是递增数列；
③ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$b_n,b_{n+1},b_{n+2}$ 不是等差数列；
④ 存在数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意的 $p,q,r\in\mathbb N^{\ast}$，且 $p<q<r$，使得 $a_p,a_q,a_r$ 不能构成等比数列．
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=\begin{cases}a x-2,&x<a,\\3 x-x^2,&x\geqslant a.\end{cases}$ 若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的一个可能的取值为_____；若 $f(x)$ 存在最大值，则 $a$ 的取值范围是_____．
2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #10
如图 $1$ 所示，在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，底面边长为 $1$，侧棱长为 $2$，$\overrightarrow{BB_2}=\lambda\overrightarrow{BB_1}$，$\overrightarrow{DD_2}=\lambda\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{FF_2}=\lambda\overrightarrow{FF_1}$，$0<\lambda<1$．在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，截去三棱锥 $B_2-ABC$，$D_2-CDE$，$ F_2-EFA$，再分别以 $AC,CE,EA$ 为轴将 $\triangle ACB_2,\triangle CED_2,\triangle EAF_2$ 分别向上翻转 $180^{\circ}$，记 $B_2,D_2,F_2$ 三点重合的点为 $P$，围成的曲顶多面体如图 $2$ 所示．记正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 的表面积与体积分别为 $S_1,V_1$，当 $\lambda=\dfrac 1 4$ 时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为 $S_2,V_2$，则下述判断正确的是（ ）
A．$S_1<S_2$，$V_1=V_2$
B．$S_1<S_2$，$V_1<V_2$
C．$S_1>S_2$，$V_1=V_2$
D．$S_1>S_2$，$V_1>V_2$
2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #21
已知有穷正整数数列 $A_n: a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 4$）满足：$a_i\in\{1,2,\cdots,n\}$，且当 $i\ne j$（$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$1\leqslant i,j\leqslant n$）时，总有 $a_i\neq a_j$．定义数列 $A_n^{\ast}: a_1^{\ast},a_2^{\ast},\cdots,a_n^{\ast}$，其中 $a_1^{\ast}=a_1$，\[a_k^{\ast}=\begin{cases}a_k-a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}<a_k,\\ a_k+a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}\geqslant a_k,\end{cases}\]其中 $k=2,3,\cdots,n$．当 $a_n^{\ast}=m$ 时，称数列 $A_n$ 具有性质 $P(m)$．
1、判断下列数列是否具有性质 $P(1)$； ① $4,3,2,1$； ② $1,2,3,5,4$．
2、已知数列 $A_8$ 具有性质 $P(m)$，求 $m$ 的最小值； 是否存在数列 $A_n$ 具有性质 $P\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)$，且 $a_1^{\ast}+a_2^{\ast}+\cdots+a_n^{\ast}=2025$？若存在，请找到使 $n$ 最小的一个数列 $A_n$；若不存在，请说明理由．
