已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$(2 n+1)^{n} \geqslant(2 n)^{n}+(2 n-1)^{n}$．
在 $\triangle A B C$ 中，满足 $a \cdot\cos B+b \cdot\cos C+c\cdot \cos A=b \cdot \cos A+c \cdot \cos B+a \cdot \cos C$，判断 $\triangle A B C$ 的形状．
已知 $n\in\mathbb Z$，函数 $f(x)=x^{2}+x+\dfrac{1}{2}$ 的定义域是 $[n, n+1]$，问 $f(x)$ 的值域中有多少个整数？
若函数 $f(x)=-\dfrac12x^2+\dfrac{13}2$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求区间 $[a,b]$．
$\dfrac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\dfrac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots+\dfrac{n+3}{n(n+1)(n+2)}=$ [[nn]].
求和：$\dfrac{3}{1 !+2 !+3 !}+\dfrac{4}{2 !+3 !+4 !}+\cdots+\dfrac{n+2}{n !+(n+1) !+(n+2) !}$
$A=\left[\dfrac 89\right]+\left[\dfrac {8^2}9\right]+\left[\dfrac {8^3}9\right]+\cdots +\left[\dfrac {8^{2014}}9\right]$ 被 $63$ 除的余数为 [[nn]]．（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．） 继续阅读
设 $m\in\mathbb N^{*}$，$\log_{2}m$ 的整数部分用 $F(m)$ 表示，则 $F(1)+F(2)+\cdots+F(1024)$ 的值是_______．
已知 $\triangle AOB$，存在非零向量 $\overrightarrow{OC}$，满足 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{OB}\right|=2\left|\overrightarrow{OC}\right|$ 且 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=3$，则 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac{3\sqrt 5}5$
B．$3$
C．$2$
D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$
已知正数 $x,y,t$ 满足：$x^2+y^2+\dfrac 34=2x\sqrt{1-t}+2y\sqrt t$，则 $z=(x+1)^2+(y+2)^2$ 的值域为_______．
