Math173

2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #14

某次考试共 $5$ 道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给 $2$ 分，答错或不答的扣 $1$ 分，每个人的基本分为 $10$ 分．已知赵、钱、孙、李、周、吴 $6$ 人的作答情况及前 $5$ 个人的得分情况如下表，则吴的得分为[[nn]]． \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{题号/人}&\text{赵}&\text{钱}&\text{孙}&\text{李}&\text{周}&\text{吴}\\ \hline 1&\checkmark&\checkmark&\times&\times&\checkmark&\checkmark \\ \hline 2&\times&\checkmark&\times&\checkmark&\checkmark&\checkmark \\ \hline 3&\checkmark&\times&\times&\checkmark&\times& \times\\ \hline 4&\checkmark&\times&\times&\times&\checkmark&\times\\ \hline 5&\times&\times&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark \\ \hline \text{得分}&14&11&14&14&11& \\ \hline \end{array}\]

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2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #11

已知 $O(0,0),A(a,0),B(a,1),C(0,1),D(0,-1)$，其中 $a\neq 0$．点 $M,N$ 分别满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ON}=(1-\lambda)\overrightarrow{OA}$，其中 $0<\lambda<1$，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 交于点 $P$，则（       ）

A．当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 斜率乘积为 $-\dfrac 1{a^2}$

B．当 $a=-1$ 时，存在点 $P$，使得 $|DP|=2$

C．当 $a=2$ 时，$\triangle PAC$ 面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 2-1}2$

D．若存在 $\lambda$，使得 $|DP|>2$，则 $a\in(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,+\infty)$

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #21

给定数列 $A: a_1,a_2,a_3,a_4$ 和序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中 $T_t=\left(d_{t,1},d_{t,2},d_{t,3},d_{t,4}\right)$（$t=1,2,\cdots,s$）满足：

① $d_{t,i}\in\{-1,3\}$（$i=1,2,3,4$）；

② $d_{t,1}+d_{t,2}+d_{t,3}+d_{t,4}=0$．

对数列 $A$ 进行如下 $s$ 次变换：将 $A$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{1,1},d_{1,2},d_{1,3},d_{1,4}$ 后得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{2,1},d_{2,2},d_{2,3},d_{2,4}$ 后得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； $\cdots\cdots$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1(A)$，简记为 $\Omega (A)$．

1、已知数列 $A: 7,8,4,4$，写出一个序列 $\Omega: T_1,T_2$，使得 $\Omega (A)$ 为 $5,6,6,6$；

2、对数列 $A: 4,6,7,8$，是否存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等？若存在，写出一个序列 $\Omega$，若不存在，说明理由；

3、对数列 $A: 3,7,14,m$，若存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$（$s\leqslant 10$），使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等，求 $m$ 的所有取值．

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、求 $f(x)$ 的极值；

3、设函数 $g(x)=f(x)+x^2+x$，求证：$g(x)$ 的最小值大于 $\dfrac 1 2$．

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $A(0,1)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、设 $B$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，动点 $M$ 到坐标原点 $O$ 的距离等于 $1$（$M$ 与 $A,B$ 不重合），直线 $AM$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $N$．记直线 $BM,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_1+\lambda k_2=0$ 恒成立？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #15

已知曲线 $C: a x^2+b y^2+x y=1$（$a,b$ 为常数），给出下列结论中所有正确结论的序号为_____．

① 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；

② 当 $a+b=0$ 时，曲线 $C$ 恒过两个定点；

③ 设 $P,Q$ 为曲线 $C$ 上的两个动点，则存在 $a>0$，$b<0$，使得 $|PQ|$ 有最大值；

④ 记曲线 $C$ 在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为 $S$，则对任意 $a>0$，存在 $b>0$，使得 $S>\dfrac 1{2\sqrt{a b}}$．

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}2 $（$x\in[0,8]$），$g(x)=\dfrac 1{x-4}$（$x\in[0,4)\cup (4,8]$），则 $f(3)+f(5)=$ _____；方程 $f(x)=g(x)$ 的所有实数解的和为_____．

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2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #10

各项均为正整数的数列 $2,3,4,a,b,20,30,40$ 为递增数列．从该数列中任取 $4$ 项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对 $(a,b)$ 的个数为（       ）

A．$73$

B．$75$

C．$76$

D．$78$

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2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #21

已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 都是无穷数列．若存在正数 $A$，对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\left|a_n-b_n\right|\leqslant A$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 具有关系 $P(A)$．

1、分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 $P(1)$，直接写出结论；

① $a_n=2 n$，$b_n=n+2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$；

② $c_n=\left(\dfrac 1 2\right)^{n-1}$，$d_n=2\cdot\left(\dfrac 1 3\right)^n+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．

2、设 $a_n=\left(\dfrac 1 3\right)^{n-1}$，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，试判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否具有关系 $P(A)$．如果是，求出 $A$ 的最小值，如果不是，说明理由；

3、已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，若存在数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 具有关系 $P(1)$，且 $b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个正数，求 $d$ 的取值范围．

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2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #20

已知 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{a x}-x-1$．

1、当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、若对任意 $x\in[0,+\infty)$，都有 $f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围；

3、求证：存在实数 $a$，使方程 $f(x)+\dfrac 12=0$ 有正实数解．

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