『28903405』在一场舞会开始时，舞池中有 $20$ 个女孩和 $22$ 个男孩，无耻外还有无穷多个等待入场的女孩和男孩．舞池的游戏规则如下：每一轮机会均等的从舞池中选出一个幸运儿，如果被选出来的是名女孩，她会邀请一位舞池中的男孩跳一支双人舞，曲子结束以后双双离开舞池；如果被选出来的是名男孩，那么他会从舞池外等待的人中邀请一位女孩和一位男孩入场跳一支三人舞，舞曲结束后三人均留在舞池内．如果舞池里只上两个男孩则舞会结束．
1、这场舞会永远也不会结束的概率是多少？
2、舞会的组织者决定颠倒舞会的规则，在每一轮中如果被选出来的是名女孩，那么她会邀请舞池外等待的人中的一名女孩和一名男孩跳一支三人舞，舞曲结束后三人均留在舞池内；如果被选出来的是名男孩，那么他会邀请一位舞池内的女孩跳一支双人舞，曲子结束后双双离场．舞会仍然在舞池里只剩两个男孩时结束．在新的规则下，该舞会终止时跳舞的轮数的数学期望是多少？
已知数列 $\{a_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列，其前 $8$ 项的和为 $64$．数列 $\{b_n\}$ 是公比大于 $0$ 的等比数列，$b_1=4$，$b_3-b_2=48$．
1、求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．
2、记 $c_n=b_{2n}+\dfrac1{b_n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
① 证明：$\{c_n^2-c_{2n}\}$ 是等比数列；
② 证明：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt 2$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．
已知 $\omega\in\mathbb R$，函数 $f(x)=(x-6)^2\cdot \sin(\omega x)$，存在常数 $a\in\mathbb R $，使得 $f(x+a)$ 为偶函数，则 $\omega$ 的可能值为（ ）
A．$\dfrac{\pi}2$
B．$\dfrac{\pi}3$
C．$\dfrac{\pi}4$
D．$\dfrac{\pi}5$
已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，离心率为 $\dfrac{2\sqrt 5}5$，且 $|BF|=\sqrt 5$．
1、求椭圆的方程．
2、直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$．过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$．若 $MP\parallel BF$，求直线 $l$ 的方程．
如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E,F$ 分别为棱 $BC,CD$ 的中点．
1、求证：$D_1F\parallel A_1EC_1$．
2、求直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成角的正弦值．
3、求二面角 $A-A_1C_1-E$ 的正弦值．
在边长为 $1$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 为线段 $BC$ 上的动点，$DE\perp AB$ 且交 $AB$ 于点 $E$，$DF\parallel AB$ 且交 $AC$ 于点 $F$，则 $\left|2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\right|$ 的值为_______；$\left(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\right)\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为_______．
设 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\begin{cases} \cos (2\pi x-2\pi a),&x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5,&x\geqslant a,\end{cases}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有 $6$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$
B．$\left(\dfrac 74,2\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$
C．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left[\dfrac{11}{4},3\right)$
D．$\left(\dfrac 74,2\right)\cup \left[\dfrac{11}4,3\right)$
设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^{x}-b x+\mathrm{e}^{2}(x \in \mathbb{R})$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若对任意 $b>2 \mathrm{e}^{2}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．
3、当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^{4}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_1<x_2$），满足\[x_{2}>\frac{b \ln b}{2 \mathrm{e}^{2}} x_{1}+\frac{\mathrm{e}^{2}}{b}.\] 注：$\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数．
如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|M F|=2$．
1、求抛物线的方程．
2、设过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $M A, M B, A B, x$ 轴依次交于点 $P, Q, R, N$，且满足 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．
