已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，过点 $M$ 作斜率为 $1$ 的直线 $x=t$ 于点 $P$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设直线 $P N$ 的斜率为 $k_1$，直线 $P A$ 的斜率为 $k_2$，是否存在实数 $t$，使得 $4 k_2-3 k_1$ 为定值？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．
已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，则 $(c-a)(c-b)$ 的取值范围是_____．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{2}-y^2=1$，$A(-2,1),B(2,1)$ 是双曲线上的定点，过点 $M(0,-3)$ 的直线交双曲线于 $C,D$，直线 $AC,BD$ 交于点 $P$，则点 $P$ 的轨迹方程是_____．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为非负数，前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{n+1}^2+a_{n+1}-a_n^2-1=0$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），以下结论正确的有（ ）
A．当 $a_1=1$ 时，$\left\{a_n\right\}$ 为常数列
B．对任意 $a_1 \in[0,1)$，存在常数 $M>0$，使得 $a_n<M$ 恒成立
C．当 $a_1 \in(1,+\infty)$ 时，$\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
D．对任意 $n \in \mathbb{~N}^{\ast}$，有 $S_n>n-2$ 恒成立
来自 73Dsi 的趣题．
小明在篮球场上练习投篮，旁边有一群绝对理性的囚犯在围观．如果小明连续投中三球，囚犯们就会说小明是“强的”；如果小明连续投空三球，囚犯们就会说小明是“菜的”；如果小明连续四次投球情况恰好为“空中中空”，囚犯们就会说小明是“搞笑的”．不管囚犯们做出“强的”“菜的”“搞笑的”中的哪种评判后，他们都会立刻一拥而上把小明的球抢走．现在已知小明的投球命中率为 $\dfrac 23$，且每次投球相互独立，求他被评判为“搞笑的”的概率．
已知正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$，则 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}$ 的最小值是_____．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，对任意不小于 $2$ 的正整数 $n$ 均有 $a_n-a_{n-1}\in\{1,2\}$，若存在正整数 $k\in [1,9]$，使得对所有数列 $\{a_n\}$ 均满足\[a_1+a_2+\cdots+a_k\leqslant a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{10},\]则 $k$ 的最大值为_____．
已知定义在区间 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y=f(x)$ 满足： ① 对任意的 $x,y>0$，都有 $f(x+y)=f\big(x\cdot f(y)\big)\cdot f(y)$； ② $f(2)=0$； ③ 当 $0<x<2$ 时，总有 $f(x)\ne 0$． 那么，$f(3)+f\left(\dfrac 12\right)=$ _____．
已知函数 $f(x)=x\mathrm e^{-x}$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，其中 $x_1<x_2$．
1、求证：$x_1+x_2>2$；
2、求证：$x_1x_2<1$；
3、求证：$x_1x_2(x_1+x_2)<2$；
4、求证：$2\sqrt{x_1}+2\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1x_2}>5$．
