已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解，求 $a$ 的最大整数值．
每日一题[2983]端点确认
已知函数 $f(x)=a x^2-{\rm e}^{x-1}$．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，证明：$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．
2、当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) \leqslant a \cos x$，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[2982]隐零点
已知函数 $f(x)=\ln x+x^2-k x+1$ $(k \in \mathbb{R}$），$g(x)=x^2-3 x+x {\rm e}^x$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若不等式 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
每日一题[2981]清君侧
已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．
1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．
每日一题[2980]随意估计
设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{k(x-1)}{x+1}$．
1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对任意 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
2、已知方程 $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{3 \mathrm{e}}$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，求证：$x_1+x_2>6 \mathrm{e}$．
每日一题[2979]暗含条件
已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1$（$a>1$）上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点．
1、若直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点，且斜率为 $ -1$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．
2、若直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点，且 $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{0}$，证明：直线 $l$ 过定点．
每日一题[2978]三花聚顶
已知函数 $f(x)=x^3-\dfrac 12\sin x$，若 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{12}\right)$，$a=f\left((\cos\theta)^{\sin\theta}\right)$，$b=f\left((\sin\theta)^{\sin\theta}\right)$，$c=-f\left(-\dfrac 12\right)$，则 $a,b,c$ 的大小关系是（ ）
A．$a>b>c$
B．$b>a>c$
C．$a>c>b$
D．$c>a>b$
每日一题[2977]硬功夫
已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{x}+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），且 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x$．
1、求 $f(x)$ 的解析式．
2、证明：当 $x>0$ 时，有 $f(x) \ln x+\dfrac{3}{x}>\dfrac{5}{2}$ 成立．
每日一题[2976]平均与参方
已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2,0)$ 的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $O P \perp O Q$，线段 $P Q$ 的中点为 $M$，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
B．$\dfrac{1}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D．$1$
每日一题[2975]极限情形
$\triangle ABC$ 中，$AB=c$，$AC=b$，边 $AB,AC$ 上的中线长分别为 $u,v$，则 $\dfrac{b+2u}{c+2v}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac13,3\right)$
B．$\left(\dfrac14,4\right)$
C．$\left(\dfrac 15,5\right)$
D．以上答案都不对