已知圆 $C$ 的方程为 ${x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 4$，点 $O$ 是坐标原点，直线 $l:y = kx$ 与圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点．
1、求 $k$ 的取值范围．
2、设 $Q\left(m,n\right)$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac{2}{ \left|OQ \right|^2} = \dfrac{1}{ \left|OM \right|^2} + \dfrac{1}{ \left|ON \right|^2}$，请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．
已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^2} + 2x + a,&x < 0 \\ \ln x,&x > 0 \\ \end{cases}}$，其中 $a$ 是实数．设 $A\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right),B\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 为该函数图象上的两点，且 ${x_1} < {x_2}$．
1、指出函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．
2、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且 ${x_2} < 0$，求 ${x_2} - {x_1}$ 的最小值．
3、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的两个焦点分别为 ${F_1}\left( { - 1,0} \right),{F_2}\left( {1,0} \right)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}} \right)$．
1、求椭圆 $C$ 的离心率．
2、设过点 $A\left( {0,2} \right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac2{|AQ|^2}=\dfrac1{|AM|^2}+\dfrac1{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为平面 $\alpha $ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha $ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的一个中位点．例如，线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A,B$ 的中位点．则有下列命题：
① 若三个点 $A,B,C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A,B,C$ 的中位点；
② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点 $A,B,C,D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是______．（写出所有真命题的序号）
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的焦距为 $ 4 $，且过点 $P\left(\sqrt 2 ,\sqrt 3 \right)$．
1、求椭圆 $ C $ 的方程．
2、设 $Q\left({x_0},{y_0}\right)$（${x_0}{y_0} \ne 0$）为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$．取点 $A\left(0,2\sqrt 2 \right)$，连接 $AE$，过点 $A$ 作 $AE$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$．点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$ 是否与椭圆 $ C $ 一定有唯一的公共点？并说明理由．
设函数 $f\left( x \right) = ax - \left( {1 + {a^2}} \right){x^2}$，其中 $a > 0$，区间 $I = \{x\mid f(x)>0\}$．
1、求 $I$ 的长度（注：区间 $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha $）．
2、给定常数 $k \in \left( {0,1} \right)$，当 $1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．
设函数 ${f_n}\left( x \right) = - 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{{{x^n}}}{{{n^2}}}$（$n=1,2,\cdots$）．
1、证明：对每个 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，存在唯一的 $x_n\in\left[\dfrac 23,1\right]$，满足 ${f_n}\left( {{x_n}} \right) = 0$．
2、证明：对任意 $p \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，由 $(1)$ 中 ${x_n}$ 构成的数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 满足 $0 < {x_n} - {x_{n + p}} < \dfrac{1}{n}$．
如图，正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 的棱长为 $ 1 $，$P$ 为 $BC$ 的中点，$Q$ 为线段 $C{C_1}$ 上的动点，过点 $A,P,Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S_0$．则下列命题正确的是[[nn]]（写出所有正确命题的编号）．
① 当 $0 < CQ < \dfrac{1}{2}$ 时，$S_0$ 为四边形；
② 当 $CQ = \dfrac{1}{2}$ 时，$S_0$ 为等腰梯形；
③ 当 $CQ = \dfrac{3}{4}$ 时，$S_0$ 与 ${C_1}{D_1}$ 的交点 $T$ 满足 ${C_1}T = \dfrac{1}{3}$；
④ 当 $\dfrac{3}{4} < CQ < 1$ 时，$S_0$ 为六边形；
⑤ 当 $CQ = 1$ 时，$S_0$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6 }{2}$．
设函数 $ f\left(x\right) =\begin{cases} \dfrac{1}{a}x,&0 \leqslant x \leqslant a, \\ \dfrac{1}{1 - a}\left(1 - x\right),&a < x \leqslant 1, \\ \end{cases} $ $a$ 为常数且 $a \in \left(0,1\right)$．
1、当 $a = \dfrac{1}{2}$ 时，求 $f\left( {f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)} \right)$．
2、若 ${x_0}$ 满足 $f\left(f\left({x_0}\right)\right) = {x_0}$，但 $f\left({x_0}\right) \ne {x_0}$，则称 ${x_0}$ 为 $f\left(x\right)$ 的二阶周期点，证明：函数 $f\left(x\right)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 ${x_1},{x_2}$．
3、对于 $(2)$ 中的 ${x_1},{x_2}$，设 $A\left({x_1},f\left(f\left({x_1}\right)\right)\right)$，$B\left({x_2},f\left(f\left({x_2}\right)\right)\right)$，$C\left({a^2},0\right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S\left(a\right)$，求 $S\left(a\right)$ 在区间 $\left[ {\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}} \right]$ 上的最大值和最小值．
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，$a + b = 3$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、如图所示，$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m - k$ 为定值．
