给定直角 $\triangle A B C$，其中 $\angle A C B=90^{\circ}$，$ B C=a$，$A C=b$，点 $D, E, F$ 分别在边 $B C, C A,A B$ 上，使得 $\triangle D E F$ 是正三角形，求 $\triangle D E F$ 面积的最小值．
已知 $F_1, F_2$ 分别是双曲线 $C_1: x^2-y^2=2$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线交双曲线右支于 $P, A$ 两点，点 $P$ 在第一象限．
1、求点 $P$ 横坐标的取值范围．
2、线段 $P F_1$ 交圆 $C_2:(x+2)^2+y^2=8$ 于点 $B$，记 $\triangle P F_2 B, \triangle A F_2 F_1, \triangle P A F_1$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S$，求 $\dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}$ 的最小值．
已知 $\triangle A B C$ 满足 $2 \sin C \sin (B-A)=2 \sin A \sin C-\sin ^2 B$．
1、试问：角 $B$ 是否可能为直角？请说明理由．
2、若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，求 $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=\dfrac{\pi}{2} $，$a_{n+1}=a_n-\dfrac{\sin a_n}{n+1}$（$n \in\mathbb N^{\ast}$）．
1、证明：$0<a_{n+1}<a_n \leqslant \dfrac{\pi}{2}$．
2、证明：$n a_n<10$．
已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x+1}$．
1、求 $f(x)$ 的极值．
2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant ax+\ln x+2$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$xf(x)+x^2f'(x)={\rm e}^x$，$f(1)={\rm e}$，判断函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性．
已知 $\{a_n\}$ 不是常数列，$a_n\ne 0$，$a_1=u$，$a_{n+1}=a_n+\sin (2a_n)+\lambda$，是否对任意正数 $\varepsilon$，都存在 $u,\lambda,N$（$u,\lambda\in\mathbb R$，$N\in\mathbb N^{\ast}$），使得当 $n>N$ 时，有 $|a_n-1|<\varepsilon$？
已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $M$ 项，其中 $M$ 为大于 $5$ 的正整数，若对任意不小于 $M$ 的正整数 $k$，都有 $a_k+a_{M+1-k}=0$，且当 $n\leqslant \dfrac M2$ 时，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$．记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否对于任何小于 $M$ 的正整数 $p,q$，都存在正整数 $i,j$，使得 $a_i+a_j=S_p-S_q$？
已知函数 $f(x)=\dfrac a2\ln (x+1)-\sqrt{x+2}$，其中 $a\in\mathbb R$．
1、当 $a=\dfrac 83$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac 3a(\sin x+\cos x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
