Math173

已知点 $F(1,0)$，$ P$ 为平面内一动点，以 $P F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切，点 $P$ 的轨迹记为 $C$．

1、求 $C$ 的方程．

2、 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $M$，过点 $B$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $N$．当四边形 $M A N B$ 的面积最小时，求 $l$ 的方程．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，凸四边形 $A B C D$ 的 $4$ 个顶点均在抛物线 $E: y^2=2 x$ 上，则（       ）

A．四边形 $A B C D$ 不可能为平行四边形

B．存在四边形 $A B C D$，满足 $\angle A=\angle C$

C．若 $A B$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$，则直线 $O A, O B$ 斜率之积恒为 $-2$

D．若 $\triangle OAC$ 为正三角形，则该三角形的面积为 $12\sqrt 3$

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已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac ax$，$a\in\mathbb R$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $-\dfrac 14<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$\sqrt{1+4a}<x_2-x_1<1+a$．

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已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 满足 $|\boldsymbol a|=\dfrac{\sqrt 2}4$，$\boldsymbol b= \boldsymbol e_1+\lambda\boldsymbol e_2$（$\lambda\in\mathbb R$），其中 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ 为不共线的平面向量，若对符合上述条件的任意向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 均有 $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\geqslant \dfrac{\sqrt 2}4$，则 $\boldsymbol e_1$ 与 $\boldsymbol e_2$ 的夹角的最小值为（        ）

A．$\dfrac{\pi}6$

B．$\dfrac{\pi}4$

C．$\dfrac{\pi}3$

D．$\dfrac{\pi}2$

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在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为角 $A,B,C$ 的对边，$\cos C=-\dfrac 78$，$\sin A+\sin B=\dfrac 12$，$a<b$，则 $\dfrac ba=$ （       ）

A．$2$

B．$\dfrac 32$

C．$\dfrac 43$

D．$1$

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已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数．记函数 $g(x)=2 f(2 x+1)+1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{31} g\left(\dfrac{{k}}{2}\right)=$ （       ）

A．$25$

B．$27$

C．$29$

D．$31$

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若对任意 $m, n \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $m-n \leqslant(x-m)^{2}+\mathrm{e}^{x-n}-a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为_______．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_1:~ x^{2}=2 p y$ 的焦点与椭圆 $C_2:~ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点关于直线 $y=x$ 对称．

1、求 $C_1$ 的标准方程．

2、若直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相切，且与 $C_{2}$ 相交于 $A, B$ 两点．求 $\triangle A O B$ 面积的最大值．

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已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{ax}{x+2}$．

1、若 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围．

2、试讨论 $f(x)$ 的零点个数．

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设 $a=\ln 5-\ln 3$，$ b=\dfrac{2}{5} \mathrm{e}^{\frac{2}{3}}$，$c=\dfrac{2}{3}$，则（       ）

A．$b>c>a$

B．$a>b>c$

C．$a>c>b$

D．$c>a>b$

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